Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan
∫ab (f − g) dx

Yöntem

  1. Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
  2. Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
  3. Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
  4. Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı
(uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

  1. Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
  2. x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
  3. Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
  4. Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

  1. Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
  2. Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
  3. Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
  4. Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta
t (min)T (°C)15Ta​37 °C29 °C

87 °C’deki bir fincan kahve 22 °C’deki bir odada bırakılıyor. 15 dakika sonra sıcaklığı 37 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Başlangıçtan ne kadar süre sonra, t, 29 °C’ye ulaşır?

T0 = 87 °CTa = 22 °CT(15) = 37 °CT = 29 °C
t = min
2.Diferansiyel denklemlerZor
xy12(1, −1)y(2) = ?

x > 0 için y(1) = −1 koşuluyla y′ + 3y/x = 4 başlangıç değer problemini çözün. y(2) değerini bulun.

y′ + 3y/x = 4y(1) = −1
y(2) =
3.İntegrallerOrta
xy01

I = ∫01 2x·(x² + 1)2 dx'i hesaplayın.

f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 1]
I =
4.İntegrallerZor
xyy = x2​y = 3x

y = x2 ve y = 3x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = x2y = 3x
A =
5.TürevlerOrta
xyx = 0

f(x) = (−2x + 1)3 olsun. f′(0)'yi bulun.

f(x) = (−2x + 1)3x = 0
f′(0) =
6.TürevlerZor
xyx = 3

f(x) = −x2 + 2x − 1 fonksiyonunun x = 3 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.

f(x) = −x2 + 2x − 1x = 3
b =
7.Sayısal yöntemlerOrta
t (s)051015202530v (m/s)10162126312934

Bir aracın sürati her 5 s’de bir ölçülüyor (tablo). t = 0’dan t = 30 s’ye kadar aldığı yolu, s, yamuk kuralıyla tahmin edin.

h = 5 sn = 6
s = m
8.Sayısal yöntemlerZor
00,050,10,150,20,50,60,7ty(0, 0,5)

y′ = e−ty, y(0) = 0,5 için h = 0,2 ile klasik Runge–Kutta yönteminin (RK4) bir adımını atın. y₁ ≈ y(0,2) değerini bulun.

y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,2
y1 =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: t = 22,8 min

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma sabiti

k = ln(65/15)/15 = 0,09776 min⁻¹

Hedefe ulaşma süresi

t = ln(65/7)/0,09776 = 22,8 min

Cevap

t = 22,8 min
2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(2) = 1,75

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

İntegrasyon çarpanı

μ = e∫3/x dx = x3

İntegral alın

(x3y)′ = 4x3 → x3y = 4x4/4 + C

Başlangıç koşulu

−1 = 4/4 + C → C = −2

Hesaplayın

y(2) = (4·24/4 + (−2))/23 = 1,75

Cevap

y(2) = 1,75
3.İntegraller

Cevap: I = 2,333

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Değişken değiştirme

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u2 du

İntegral alın ve sınırları koyun

I = [u3/3]12 = (8 − 1)/3 = 2,333

Cevap

I = 2,333
4.İntegraller

Cevap: A = 4,5

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Kesişim noktaları

x2 = 3x → x = 0, x = 3

Üst eksi alt integrali alın

A = [1,5x2 − 0,3333x3]03 = 4,5

Cevap

A = 4,5
5.Türevler

Cevap: f′(0) = −6

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Zincir kuralı

f′(x) = 3·(−2x + 1)2·(−2)

Yerine koyun

f′(0) = 3·12·(−2) = −6

Cevap

f′(0) = −6
6.Türevler

Cevap: b = 8

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Nokta ve eğim

f(3) = −4
f′(x) = −2x + 2 → f′(3) = −4

x = 0'da teğet

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −4 − (−4)·3 = 8

Cevap

b = 8
7.Sayısal yöntemler

Cevap: s = 725 m

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Ağırlıklı toplam

10 + 2·16 + 2·21 + 2·26 + 2·31 + 2·29 + 34 = 290

Yamuk kuralı

s = (5/2)·290 = 725 m

Cevap

s = 725 m
8.Sayısal yöntemler

Cevap: y1 = 0,688

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Dört eğim

k₁ = f(0, 0,5) = 1
k₂ = f(0,1, 0,6) = 0,941765
k₃ = f(0,1, 0,594176) = 0,942313
k₄ = f(0,2, 0,688463) = 0,871367

Birleştirin

y₁ = 0,5 + (0,2/6)(1 + 2·0,941765 + 2·0,942313 + 0,871367) = 0,688

Cevap

y1 = 0,688

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations