Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

y″ + 8y′ + 15y = 0 denklemini y(0) = 2 ve y′(0) = 4 ile çözün. y(1,5) değerini bulun.

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 2y′(0) = 4

y(1.5) =

2.Diferansiyel denklemlerZor

y(0) = 5 koşuluyla y′ + 0,5y = 2e^−2t denklemini çözün. y(2) değerini bulun.

y′ + 0,5y = 2e^−2ty(0) = 5

y(2) =

3.İntegrallerOrta

I = ∫₂⁸ 5/x dx'i hesaplayın.

f(x) = 5/x[2, 8]

I =

4.İntegrallerZor

y = 9 − x² parabolü ile x ekseni arasındaki bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 9 − x²

A =

5.TürevlerOrta

f(x) = x³·e^−x olsun. f′(0,5)'yi bulun.

f(x) = x³·e^−xx = 0,5

f′(0.5) =

6.TürevlerZor

f(x) = 0,5x² − 3x + 1 fonksiyonunun x = 1 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.

f(x) = 0,5x² − 3x + 1x = 1

b =

7.Sayısal yöntemlerOrta

∫₀^1,5 √(1 + x³) dx integralini n = 6 şeritli yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. T değerini verin.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 6

T =

8.Sayısal yöntemlerZor

y₃ ≈ y(0,3) değerini tahmin etmek için y′ = t² + y², y(0) = 1 üzerinde h = 0,1 ile Heun yöntemini (geliştirilmiş Euler) kullanın.

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,1

y₃ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(1.5) = 0,075

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = e^rt deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·e^r₁t + B·e^r₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·e^rt verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 biçiminde yazıldığında ω_n doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Karakteristik kökler

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

Başlangıç değerlerinden sabitler

A + B = 2, −3A − 5B = 4

A = 7, B = −5

Hesaplayın

y(1,5) = 7·e^−4,5 + (−5)·e^−7,5 = 0,075

Cevap

y(1,5) = 0,075

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(2) = 2,305

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

İntegrasyon çarpanı

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 2e^−1,5t

Genel çözüm

y = 2/(−1,5)·e^−2t + C·e^−0,5t = −1,333·e^−2t + C·e^−0,5t

Başlangıç koşulu

5 = −1,333 + C → C = 6,333

Hesaplayın

y(2) = −1,333·0,01832 + 6,333·0,3679 = 2,305

Cevap

y(2) = 2,305

3.İntegraller

Cevap: I = 6,931

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

İlkel fonksiyon

F(x) = 5·ln x

Sınırları yerine koyun

I = 5·(ln 8 − ln 2) = 5·ln 4 = 6,931

Cevap

I = 6,931

4.İntegraller

Cevap: A = 36

Sıfırlar

9 − x² = 0 → x = ±3

İntegral alın

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Cevap

A = 36

5.Türevler

Cevap: f′(0.5) = 0,3791

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Çarpım kuralı

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(3x² + (−1)·x³)

Yerine koyun

f′(0,5) = 0,6065·(0,75 + (−0,125)) = 0,3791

Cevap

f′(0,5) = 0,3791

6.Türevler

Cevap: b = 0,5

Nokta ve eğim

f(1) = −1,5

f′(x) = x − 3 → f′(1) = −2

x = 0'da teğet

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1,5 − (−2)·1 = 0,5

Cevap

b = 0,5

7.Sayısal yöntemler

Cevap: T = 1,985

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Düğümler ve değerler

h = 0,25

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·1,007782 + 2·1,06066 + 2·1,192424 + 2·1,414214 + 2·1,718466 + 2,09165 = 15,878742

Yamuk kuralı

T = (0,25/2)·15,878742 = 1,985

Cevap

T = 1,985

Bu integralin temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ters türevi yoktur; sayısal bir kuralın tam da gerektiği durum budur.

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₃ = 1,436

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Heun adımları

y₁ = 1 + (0,1/2)(1 + 1,22) = 1,111

y₂ = 1,111 + (0,1/2)(1,244321 + 1,566292) = 1,251531

y₃ = 1,251531 + (0,1/2)(1,606329 + 2,084206) = 1,436057

Grafik

y₃ = 1,436

Cevap

y₃ = 1,436

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations