Diferansiyel denklemler
- Üstel büyüme/azalma
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- Yarı ömür
- k = ln 2 / t½
- Newton’un soğuma yasası
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- İntegrasyon çarpanı
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- Karıştırma tankı
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
İntegraller
- Kuvvet kuralı
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Belirli integral
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Temel integraller
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Eğriler arasındaki alan
- ∫ab (f − g) dx
Yöntem
- Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
- Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
- Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
- Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.
Türevler
- Kuvvet kuralı
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Çarpım kuralı
- (uv)′ = u′v + uv′
- Bölüm kuralı
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Zincir kuralı
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Temel türevler
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Yöntem
- Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
- x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
- Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
- Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.
Sayısal yöntemler
- Yarılama yöntemi
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- Newton–Raphson
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- Doğrusal enterpolasyon
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- Yamuk kuralı
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- Simpson kuralı (n çift)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- Yamuk hata sınırı
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- Euler
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- Heun
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Yöntem
- Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
- Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
- Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
- Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.
2Alıştırma soruları
1.Diferansiyel denklemlerOrta
340 °C’deki dövme çelik bir parça 23 °C’deki bir atölyede soğumaya bırakılıyor. 20 dakika sonra sıcaklığı 140 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Başlangıçtan ne kadar süre sonra, t, 58 °C’ye ulaşır?
T0 = 340 °CTa = 23 °CT(20) = 140 °CT = 58 °C
t = min
2.Diferansiyel denklemlerZor
x > 0 için y(1) = −1 koşuluyla y′ + 3y/x = 1 başlangıç değer problemini çözün. y(2) değerini bulun.
y′ + 3y/x = 1y(1) = −1
y(2) =
3.İntegrallerOrta
I = ∫02 2x·(x² + 1)3 dx'i hesaplayın.
f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 2]
I =
4.İntegrallerZor
y = 2x2 ve y = 2x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.
y = 2x2y = 2x
A =
5.TürevlerOrta
f(x) = ln(3x2 + 1) olsun. f′(−1)'i bulun.
f(x) = ln(3x2 + 1)x = −1
f′(−1) =
6.TürevlerZor
f(x) = −x2 + x + 3 fonksiyonunun x = −2 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.
f(x) = −x2 + x + 3x = −2
b =
7.Sayısal yöntemlerOrta
∫01,5 sin(x²) dx integralini n = 6 şeritli yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. T değerini verin.
f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1,5]n = 6
T =
8.Sayısal yöntemlerZor
y2 ≈ y(0,5) değerini tahmin etmek için y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1 üzerinde h = 0,25 ile Heun yöntemini (geliştirilmiş Euler) kullanın.
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,25
y2 =
3Çözeltiler
1.Diferansiyel denklemler
Cevap: t = 44,22 min
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Soğuma sabiti
k = ln(317/117)/20 = 0,04984 min⁻¹
Hedefe ulaşma süresi
t = ln(317/35)/0,04984 = 44,22 min
Cevap
t = 44,22 min
2.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(2) = 0,3438
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
İntegrasyon çarpanı
μ = e∫3/x dx = x3
İntegral alın
(x3y)′ = x3 → x3y = 1x4/4 + C
Başlangıç koşulu
−1 = 1/4 + C → C = −1,25
Hesaplayın
y(2) = (1·24/4 + (−1,25))/23 = 0,3438
Cevap
y(2) = 0,3438
3.İntegraller
Cevap: I = 156
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Değişken değiştirme
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u3 du
İntegral alın ve sınırları koyun
I = [u4/4]15 = (625 − 1)/4 = 156
Cevap
I = 156
4.İntegraller
Cevap: A = 0,3333
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Kesişim noktaları
2x2 = 2x → x = 0, x = 1
Üst eksi alt integrali alın
A = [x2 − 0,6667x3]01 = 0,3333
Cevap
A = 0,3333
5.Türevler
Cevap: f′(−1) = −1,5
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Logaritma için zincir kuralı
f′(x) = 6x/(3x2 + 1)
Yerine koyun
f′(−1) = −6/4 = −1,5
Cevap
f′(−1) = −1,5
6.Türevler
Cevap: b = 7
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Nokta ve eğim
f(−2) = −3
f′(x) = −2x + 1 → f′(−2) = 5
x = 0'da teğet
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − 5·(−2) = 7
Cevap
b = 7
7.Sayısal yöntemler
Cevap: T = 0,7684
Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.
Düğümler ve değerler
h = 0,25
Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,0624593 + 2·0,247404 + 2·0,533303 + 2·0,841471 + 2·0,999966 + 0,778073 = 6,147278
Yamuk kuralı
T = (0,25/2)·6,147278 = 0,7684
Cevap
T = 0,7684
Bu integralin temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ters türevi yoktur; sayısal bir kuralın tam da gerektiği durum budur.
8.Sayısal yöntemler
Cevap: y2 = 1,668
y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.
Heun adımları
y₁ = 1 + (0,25/2)(1 + 1,307439) = 1,28843
y₂ = 1,28843 + (0,25/2)(1,316566 + 1,723449) = 1,668432
Grafik
y2 = 1,668
Cevap
y2 = 1,668
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations