Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

y″ + 7y′ + 12y = 0 denklemini y(0) = 5 ve y′(0) = -2 ile çözün. y(0,5) değerini bulun.

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 5y′(0) = -2

y(0.5) =

2.Diferansiyel denklemlerZor

Bir sistem t ≥ 0 için y″ + 4y′ + 29y = 58 denklemine uyuyor ve durgun halden başlıyor: y(0) = 0, y′(0) = 0. y(0,25) değerini bulun; açılar radyan cinsinden.

y″ + 4y′ + 29y = 58y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

3.İntegrallerOrta

I = ∫₀^π/3 x·cos x dx değerini hesaplayın (x radyan cinsinden).

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

4.İntegrallerZor

y = 2x² ve y = 2x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 2x²y = 2x

A =

5.TürevlerOrta

f(x) = x³·e^−x olsun. f′(1)'yi bulun.

f(x) = x³·e^−xx = 1

f′(1) =

6.TürevlerZor

f(x) = x³ − 12x − 4 olsun. Yerel minimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x³ − 12x − 4

x =

7.Sayısal yöntemlerOrta

∫₀¹ sin(x²) dx integralini n = 6 şeritli yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. T değerini verin.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 6

T =

8.Sayısal yöntemlerZor

y₄ ≈ y(2) değerini tahmin etmek için y′ = t − y, y(0) = 0,5 üzerinde h = 0,5 ile Euler yöntemini kullanın.

y′ = t − yy(0) = 0,5h = 0,5

y₄ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(0.5) = 2,257

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = e^rt deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·e^r₁t + B·e^r₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·e^rt verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 biçiminde yazıldığında ω_n doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Karakteristik kökler

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

Başlangıç değerlerinden sabitler

A + B = 5, −3A − 4B = -2

A = 18, B = −13

Hesaplayın

y(0,5) = 18·e^−1,5 + (−13)·e⁻² = 2,257

Cevap

y(0,5) = 2,257

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(0.25) = 1,157

Sürekli değer ve kökler

y_ss = 2, r = −2 ± 5j

Başlangıç değerlerinden sabitler

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −2A + 5B = 0 → B = −0,8

Hesaplayın

y(0,25) = 2·(1 − e^−0,5(cos 1,25 + 0,4·sin 1,25)) = 1,157

Cevap

y(0,25) = 1,157

3.İntegraller

Cevap: I = 0,4069

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

u ve dv’yi seçin

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

İlkel fonksiyon

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limitler

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0,4069

Cevap

I = 0,4069

4.İntegraller

Cevap: A = 0,3333

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Kesişim noktaları

2x² = 2x → x = 0, x = 1

Üst eksi alt integrali alın

A = [x² − 0,6667x³]₀¹ = 0,3333

Cevap

A = 0,3333

5.Türevler

Cevap: f′(1) = 0,7358

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Çarpım kuralı

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(3x² + (−1)·x³)

Yerine koyun

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Cevap

f′(1) = 0,7358

6.Türevler

Cevap: x = 2

Türev

f′(x) = 3x² − 12 = 3·(x² − 4)

f′(x) = 0'ı çözün

x = −2 veya x = 2

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(−2) = −12, f″(2) = 12

x = 2

Cevap

x = 2

7.Sayısal yöntemler

Cevap: T = 0,3128

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Düğümler ve değerler

h = 0,1667

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,0277742 + 2·0,110883 + 2·0,247404 + 2·0,429956 + 2·0,639959 + 0,841471 = 3,753423

Yamuk kuralı

T = (0,1667/2)·3,753423 = 0,3128

Cevap

T = 0,3128

Bu integralin temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ters türevi yoktur; sayısal bir kuralın tam da gerektiği durum budur.

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₄ = 1,094

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Euler adımları

y₁ = 0,5 + 0,5·(−0,5) = 0,25

y₂ = 0,25 + 0,5·(0,25) = 0,375

y₃ = 0,375 + 0,5·(0,625) = 0,6875

y₄ = 0,6875 + 0,5·(0,8125) = 1,09375

Grafik

y₄ = 1,094

Cevap

y₄ = 1,094

Tam değer y(2) = 1,203003’dir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations