Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

y″ + 4y′ + 3y = 0 denklemini y(0) = 2 ve y′(0) = 6 ile çözün. y(1,5) değerini bulun.

y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 2y′(0) = 6

y(1.5) =

2.Diferansiyel denklemlerZor

x > 0 için y(1) = 2 koşuluyla y′ + 3y/x = 6x başlangıç değer problemini çözün. y(3) değerini bulun.

y′ + 3y/x = 6xy(1) = 2

y(3) =

3.İntegrallerOrta

I = ∫₁³ 1/x dx'i hesaplayın.

f(x) = 1/x[1, 3]

I =

4.İntegrallerZor

y = x² ve y = 4x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = x²y = 4x

A =

5.TürevlerOrta

f(x) = x³·e^0,5x olsun. f′(1,5)'yi bulun.

f(x) = x³·e^0,5xx = 1,5

f′(1.5) =

6.TürevlerZor

f(x) = x³ + 4,5x² + 6x + 1 olsun. Yerel minimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x³ + 4,5x² + 6x + 1

x =

7.Sayısal yöntemlerOrta

∫₀² sin x dx integralini n = 2 ile Simpson kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın ve tam değerle karşılaştırın. Mutlak hatayı, |E| = |S − I|, bulun.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

8.Sayısal yöntemlerZor

y₃ ≈ y(1,5) değerini tahmin etmek için y′ = cos t − y, y(0) = 3 üzerinde h = 0,5 ile Heun yöntemini (geliştirilmiş Euler) kullanın.

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,5

y₃ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(1.5) = 1,294

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = e^rt deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·e^r₁t + B·e^r₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·e^rt verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 biçiminde yazıldığında ω_n doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Karakteristik kökler

(r + 1)(r + 3) = 0 → r = −1, −3

Başlangıç değerlerinden sabitler

A + B = 2, −1A − 3B = 6

A = 6, B = −4

Hesaplayın

y(1,5) = 6·e^−1,5 + (−4)·e^−4,5 = 1,294

Cevap

y(1,5) = 1,294

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(3) = 10,83

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

İntegrasyon çarpanı

μ = e^{∫3/x dx} = x³

İntegral alın

(x³y)′ = 6x⁴ → x³y = 6x⁵/5 + C

Başlangıç koşulu

2 = 6/5 + C → C = 0,8

Hesaplayın

y(3) = (6·3⁵/5 + 0,8)/3³ = 10,83

Cevap

y(3) = 10,83

3.İntegraller

Cevap: I = 1,099

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

İlkel fonksiyon

F(x) = ln x

Sınırları yerine koyun

I = (ln 3 − ln 1) = ln 3 = 1,099

Cevap

I = 1,099

4.İntegraller

Cevap: A = 10,67

Kesişim noktaları

x² = 4x → x = 0, x = 4

Üst eksi alt integrali alın

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Cevap

A = 10,67

5.Türevler

Cevap: f′(1.5) = 17,86

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Çarpım kuralı

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(3x² + 0,5·x³)

Yerine koyun

f′(1,5) = 2,117·(6,75 + 1,688) = 17,86

Cevap

f′(1,5) = 17,86

6.Türevler

Cevap: x = −1

Türev

f′(x) = 3x² + 9x + 6 = 3·(x² + 3x + 2)

f′(x) = 0'ı çözün

x = −2 veya x = −1

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x + 9: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(−2) = −3, f″(−1) = 3

x = −1

Cevap

x = −1

7.Sayısal yöntemler

Cevap: |E| = 0,008914

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Tam değer

I = 1,416147

Simpson kuralı

S = (1/3)·(0 + 4·0,841471 + 0,909297) = 1,42506

Hata

|E| = |1,42506 − 1,416147| = 0,008914

Cevap

|E| = 0,008914

Bağıl hata: %0,6294.

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₃ = 1,105

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Heun adımları

y₁ = 3 + (0,5/2)(−2 − 1,122417) = 2,219396

y₂ = 2,219396 + (0,5/2)(−1,341813 − 1,008187) = 1,631896

y₃ = 1,631896 + (0,5/2)(−1,091593 − 1,015362) = 1,105157

Grafik

y₃ = 1,105

Cevap

y₃ = 1,105

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations