Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

92 °C’deki bir fincan kahve 18 °C’deki bir odada bırakılıyor. 5 dakika sonra sıcaklığı 82 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sabit k değerini min⁻¹ cinsinden bulun.

T₀ = 92 °CT_a = 18 °CT(5) = 82 °C

k = min⁻¹

2.Diferansiyel denklemlerZor

x > 0 için y(1) = 5 koşuluyla y′ + 3y/x = 2x başlangıç değer problemini çözün. y(3) değerini bulun.

y′ + 3y/x = 2xy(1) = 5

y(3) =

3.İntegrallerOrta

I = ∫₀² 2x·(x² + 1)¹ dx'i hesaplayın.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 2]

I =

4.İntegrallerZor

I = ∫₀^0,5 x²·eˣ dx değerini hesaplayın.

∫₀^0,5 x²eˣ dx

I =

5.TürevlerOrta

f(x) = ln(2x² + 5) olsun. f′(1)'i bulun.

f(x) = ln(2x² + 5)x = 1

f′(1) =

6.TürevlerZor

f(x) = 2x² + 6 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.

f(x) = 2x² + 6x = 2

b =

7.Sayısal yöntemlerOrta

Bir aracın sürati her 2 s’de bir ölçülüyor (tablo). t = 0’dan t = 8 s’ye kadar aldığı yolu, s, Simpson kuralıyla tahmin edin.

h = 2 sn = 4

s = m

8.Sayısal yöntemlerZor

y₃ ≈ y(1,5) değerini tahmin etmek için y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5 üzerinde h = 0,5 ile Heun yöntemini (geliştirilmiş Euler) kullanın.

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,5

y₃ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: k = 0,02904 min⁻¹

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Sıcaklık farklarının oranı

e^−5k = 64/74

k için çözün

k = ln(74/64)/5 = 0,02904 min⁻¹

Cevap

k = 0,02904 min⁻¹

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(3) = 3,77

İntegrasyon çarpanı

μ = e^{∫3/x dx} = x³

İntegral alın

(x³y)′ = 2x⁴ → x³y = 2x⁵/5 + C

Başlangıç koşulu

5 = 2/5 + C → C = 4,6

Hesaplayın

y(3) = (2·3⁵/5 + 4,6)/3³ = 3,77

Cevap

y(3) = 3,77

3.İntegraller

Cevap: I = 12

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Değişken değiştirme

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u¹ du

İntegral alın ve sınırları koyun

I = [u²/2]₁⁵ = (25 − 1)/2 = 12

Cevap

I = 12

4.İntegraller

Cevap: I = 0,0609

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

Birinci tur

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

İkinci tur

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limitler

1,649·(1,25) − 1·2 = 0,0609

Cevap

I = 0,0609

5.Türevler

Cevap: f′(1) = 0,5714

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Logaritma için zincir kuralı

f′(x) = 4x/(2x² + 5)

Yerine koyun

f′(1) = 4/7 = 0,5714

Cevap

f′(1) = 0,5714

6.Türevler

Cevap: b = −2

Nokta ve eğim

f(2) = 14

f′(x) = 4x → f′(2) = 8

x = 0'da teğet

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 14 − 8·2 = −2

Cevap

b = −2

7.Sayısal yöntemler

Cevap: s = 51,33 m

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Ağırlıklı toplam

6 + 4·5 + 2·3 + 4·9 + 9 = 77

Simpson kuralı

s = (2/3)·77 = 51,33 m

Cevap

s = 51,33 m

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₃ = 2,479

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Heun adımları

y₁ = 0,5 + (0,5/2)(1 + 1,479426) = 1,119856

y₂ = 1,119856 + (0,5/2)(1,531125 + 1,950913) = 1,990366

y₃ = 1,990366 + (0,5/2)(1,913264 + 0,0422988) = 2,479257

Grafik

y₃ = 2,479

Cevap

y₃ = 2,479

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations