Diferansiyel denklemler
- Üstel büyüme/azalma
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- Yarı ömür
- k = ln 2 / t½
- Newton’un soğuma yasası
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- İntegrasyon çarpanı
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- Karıştırma tankı
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
İntegraller
- Kuvvet kuralı
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Belirli integral
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Temel integraller
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Eğriler arasındaki alan
- ∫ab (f − g) dx
Yöntem
- Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
- Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
- Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
- Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.
Türevler
- Kuvvet kuralı
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Çarpım kuralı
- (uv)′ = u′v + uv′
- Bölüm kuralı
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Zincir kuralı
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Temel türevler
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Yöntem
- Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
- x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
- Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
- Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.
Sayısal yöntemler
- Yarılama yöntemi
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- Newton–Raphson
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- Doğrusal enterpolasyon
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- Yamuk kuralı
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- Simpson kuralı (n çift)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- Yamuk hata sınırı
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- Euler
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- Heun
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Yöntem
- Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
- Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
- Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
- Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.
2Alıştırma soruları
1.Diferansiyel denklemlerOrta
4 °C’deki bir kutu gazoz buzdolabından çıkarılıp 23 °C’deki bir odaya alınıyor. 21 dakika sonra sıcaklığı 15 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Başlangıçtan ne kadar süre sonra, t, 21 °C’ye ulaşır?
T0 = 4 °CTa = 23 °CT(21) = 15 °CT = 21 °C
t = min
2.Diferansiyel denklemlerZor
Bir tankta 400 L saf su var. Litre başına 0,05 kg tuz içeren tuzlu su 4 L/min debiyle giriyor ve iyi karışmış çözelti aynı debiyle çıkıyor. 50 dakika sonra tankta ne kadar tuz m vardır?
V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
3.İntegrallerOrta
I = ∫15 1/x dx'i hesaplayın.
f(x) = 1/x[1, 5]
I =
4.İntegrallerZor
y = x2 ve y = 4x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.
y = x2y = 4x
A =
5.TürevlerOrta
f(x) = x·e2x olsun. f′(1)'yi bulun.
f(x) = x·e2xx = 1
f′(1) =
6.TürevlerZor
f(x) = x3 − 4,5x2 + 6x − 5 olsun. Yerel maksimumun x koordinatı x'i bulun.
f(x) = x3 − 4,5x2 + 6x − 5
x =
7.Sayısal yöntemlerOrta
∫14 1/x dx integralini n = 2 ile Simpson kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın ve tam değerle karşılaştırın. Mutlak hatayı, |E| = |S − I|, bulun.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 2
|E| =
8.Sayısal yöntemlerZor
y3 ≈ y(0,6) değerini tahmin etmek için y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0 üzerinde h = 0,2 ile Heun yöntemini (geliştirilmiş Euler) kullanın.
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,2
y3 =
3Çözeltiler
1.Diferansiyel denklemler
Cevap: t = 54,66 min
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Soğuma sabiti
k = ln(-19/-8)/21 = 0,04119 min⁻¹
Hedefe ulaşma süresi
t = ln(-19/(−2))/0,04119 = 54,66 min
Cevap
t = 54,66 min
2.Diferansiyel denklemler
Cevap: m = 7,869 kg
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Denklemi kurun
dm/dt = 4·0,05 − (4/400)·m = 0,2 − 0,01·m
Çözün
İntegrasyon çarpanı ert/V’dir; çözüm c·V denge değerine yaklaşır.
m(t) = 20 + (−20)·e−t/100
t’yi yerine koyun
m(50) = 20 + (−20)·0,6065 = 7,869 kg
Cevap
m = 7,869 kg
3.İntegraller
Cevap: I = 1,609
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
İlkel fonksiyon
F(x) = ln x
Sınırları yerine koyun
I = (ln 5 − ln 1) = ln 5 = 1,609
Cevap
I = 1,609
4.İntegraller
Cevap: A = 10,67
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Kesişim noktaları
x2 = 4x → x = 0, x = 4
Üst eksi alt integrali alın
A = [2x2 − 0,3333x3]04 = 10,67
Cevap
A = 10,67
5.Türevler
Cevap: f′(1) = 22,17
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Çarpım kuralı
f′(x) = u′v + uv′ = e2x·(1 + 2·x)
Yerine koyun
f′(1) = 7,389·(1 + 2) = 22,17
Cevap
f′(1) = 22,17
6.Türevler
Cevap: x = 1
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Türev
f′(x) = 3x2 − 9x + 6 = 3·(x2 − 3x + 2)
f′(x) = 0'ı çözün
x = 1 veya x = 2
Hangisi hangisi
f″(x) = 6x − 9: maksimumda negatif, minimumda pozitif.
f″(1) = −3, f″(2) = 3
x = 1
Cevap
x = 1
7.Sayısal yöntemler
Cevap: |E| = 0,03871
Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.
Tam değer
I = 1,386294
Simpson kuralı
S = (1,5/3)·(1 + 4·0,4 + 0,25) = 1,425
Hata
|E| = |1,425 − 1,386294| = 0,03871
Cevap
|E| = 0,03871
Bağıl hata: %2,792.
8.Sayısal yöntemler
Cevap: y3 = 0,6799
y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.
Heun adımları
y₁ = 0 + (0,2/2)(1 + 1,039989) = 0,203999
y₂ = 0,203999 + (0,2/2)(1,040788 + 1,164117) = 0,424489
y₃ = 0,424489 + (0,2/2)(1,168981 + 1,384782) = 0,679866
Grafik
y3 = 0,6799
Cevap
y3 = 0,6799
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations