Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

90 °C’deki bir fincan kahve 24 °C’deki bir odada bırakılıyor. 16 dakika sonra sıcaklığı 34 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Başlangıçtan ne kadar süre sonra, t, 51 °C’ye ulaşır?

T₀ = 90 °CT_a = 24 °CT(16) = 34 °CT = 51 °C

t = min

2.Diferansiyel denklemlerZor

Bir tankta, içinde 20 kg tuz çözünmüş 1000 L su var. Litre başına 0,1 kg tuz içeren tuzlu su 5 L/min debiyle giriyor ve iyi karışmış çözelti aynı debiyle çıkıyor. Kaç dakika t sonra tankta 60 kg tuz bulunur?

V = 1000 Lm₀ = 20 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min

t = min

3.İntegrallerOrta

I = ∫₀³ e^2x dx'i hesaplayın.

f(x) = e^2x[0, 3]

I =

4.İntegrallerZor

y = 9 − x² parabolü ile x ekseni arasındaki bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 9 − x²

A =

5.TürevlerOrta

f(x) = (3x − 3)⁴ olsun. f′(−1)'yi bulun.

f(x) = (3x − 3)⁴x = −1

f′(−1) =

6.TürevlerZor

f(x) = x³ − 3x² − 9x − 2 olsun. Yerel minimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x³ − 3x² − 9x − 2

x =

7.Sayısal yöntemlerOrta

Yamuk kuralı ∫₀² x³ dx için kullanılıyor. Hata en çok (b − a)³·M/(12n²)’dir; M = [0, 2] üzerinde max|f″|. Hatanın 0,0005 değerinin altında olmasını garanti eden en küçük şerit sayısını, n, bulun.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005

n =

8.Sayısal yöntemlerZor

y′ = cos t − y, y(0) = 0,5 için h = 0,1 ile klasik Runge–Kutta yönteminin (RK4) bir adımını atın. y₁ ≈ y(0,1) değerini bulun.

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,1

y₁ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: t = 7,578 min

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma sabiti

k = ln(66/10)/16 = 0,1179 min⁻¹

Hedefe ulaşma süresi

t = ln(66/27)/0,1179 = 7,578 min

Cevap

t = 7,578 min

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: t = 138,6 min

Sonuç

m(t) = 100 + (−80)·e^−t/200

t için çözün

e^−t/200 = (100 − 60)/(100 − 20) = 0,5

t = 200·ln(2) = 138,6 min

Cevap

t = 138,6 min

3.İntegraller

Cevap: I = 201,2

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

İlkel fonksiyon

F(x) = e^2x/2

Sınırları yerine koyun

I = (e⁶ − 1)/2 = (403,4 − 1)/2 = 201,2

Cevap

I = 201,2

4.İntegraller

Cevap: A = 36

Sıfırlar

9 − x² = 0 → x = ±3

İntegral alın

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Cevap

A = 36

5.Türevler

Cevap: f′(−1) = −2592

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Zincir kuralı

f′(x) = 4·(3x − 3)³·3

Yerine koyun

f′(−1) = 4·(−6)³·3 = −2592

Cevap

f′(−1) = −2592

6.Türevler

Cevap: x = 3

Türev

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3·(x² − 2x − 3)

f′(x) = 0'ı çözün

x = −1 veya x = 3

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x − 6: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(−1) = −12, f″(3) = 12

x = 3

Cevap

x = 3

7.Sayısal yöntemler

Cevap: n = 127

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

İkinci türev sınırı

M = 6·2 = 12

n'yi çözün

n² > 8·12/(12·0,0005) = 16000

n > 126,5 → n = 127

Cevap

n = 127

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₁ = 0,5474

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Dört eğim

k₁ = f(0, 0,5) = 0,5

k₂ = f(0,05, 0,525) = 0,47375

k₃ = f(0,05, 0,523688) = 0,475063

k₄ = f(0,1, 0,547506) = 0,447498

Birleştirin

y₁ = 0,5 + (0,1/6)(0,5 + 2·0,47375 + 2·0,475063 + 0,447498) = 0,5474

Cevap

y₁ = 0,5474

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations