Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

5 °C’deki bir kutu gazoz buzdolabından çıkarılıp 22 °C’deki bir odaya alınıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,07 min⁻¹ ile 19 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.

T₀ = 5 °CT_a = 22 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 19 min

T = °C

2.Diferansiyel denklemlerZor

x > 0 için y(1) = −2 koşuluyla y′ + y/x = 2x² başlangıç değer problemini çözün. y(2) değerini bulun.

y′ + y/x = 2x²y(1) = −2

y(2) =

3.İntegrallerOrta

I = ∫₁⁴ x·ln x dx değerini hesaplayın.

∫₁⁴ x ln x dx

I =

4.İntegrallerZor

y = x² ve y = 3x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = x²y = 3x

A =

5.TürevlerOrta

f(x) = ln(2x² + 4) olsun. f′(1)'i bulun.

f(x) = ln(2x² + 4)x = 1

f′(1) =

6.TürevlerZor

f(x) = x³ − 12x² + 36x + 1 olsun. Yerel maksimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x³ − 12x² + 36x + 1

x =

7.Sayısal yöntemlerOrta

∫₀² sin x dx integralini n = 2 ile Simpson kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın ve tam değerle karşılaştırın. Mutlak hatayı, |E| = |S − I|, bulun.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

8.Sayısal yöntemlerZor

y₂ ≈ y(0,2) değerini tahmin etmek için y′ = y − t², y(0) = 0,5 üzerinde h = 0,1 ile Heun yöntemini (geliştirilmiş Euler) kullanın.

y′ = y − t²y(0) = 0,5h = 0,1

y₂ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: T = 17,5 °C

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma yasasının çözümü

T(t) = 22 + (−17)·e^−0,07t

t’yi yerine koyun

T(19) = 22 + (−17)·0,2645 = 17,5 °C

Cevap

T = 17,5 °C

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(2) = 2,75

İntegrasyon çarpanı

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

İntegral alın

(x¹y)′ = 2x³ → x¹y = 2x⁴/4 + C

Başlangıç koşulu

−2 = 2/4 + C → C = −2,5

Hesaplayın

y(2) = (2·2⁴/4 + (−2,5))/2¹ = 2,75

Cevap

y(2) = 2,75

3.İntegraller

Cevap: I = 7,34

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

u ve dv’yi seçin

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

İlkel fonksiyon

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limitler

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0,25) = 7,34

Cevap

I = 7,34

4.İntegraller

Cevap: A = 4,5

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Kesişim noktaları

x² = 3x → x = 0, x = 3

Üst eksi alt integrali alın

A = [1,5x² − 0,3333x³]₀³ = 4,5

Cevap

A = 4,5

5.Türevler

Cevap: f′(1) = 0,6667

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Logaritma için zincir kuralı

f′(x) = 4x/(2x² + 4)

Yerine koyun

f′(1) = 4/6 = 0,6667

Cevap

f′(1) = 0,6667

6.Türevler

Cevap: x = 2

Türev

f′(x) = 3x² − 24x + 36 = 3·(x² − 8x + 12)

f′(x) = 0'ı çözün

x = 2 veya x = 6

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x − 24: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(2) = −12, f″(6) = 12

x = 2

Cevap

x = 2

7.Sayısal yöntemler

Cevap: |E| = 0,008914

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Tam değer

I = 1,416147

Simpson kuralı

S = (1/3)·(0 + 4·0,841471 + 0,909297) = 1,42506

Hata

|E| = |1,42506 − 1,416147| = 0,008914

Cevap

|E| = 0,008914

Bağıl hata: %0,6294.

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₂ = 0,6074

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Heun adımları

y₁ = 0,5 + (0,1/2)(0,5 + 0,54) = 0,552

y₂ = 0,552 + (0,1/2)(0,542 + 0,5662) = 0,60741

Grafik

y₂ = 0,6074

Cevap

y₂ = 0,6074

Tam değer y(0,2) = 0,607896’dir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations