Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

85 °C’deki bir fincan kahve 24 °C’deki bir odada bırakılıyor. 24 dakika sonra sıcaklığı 28 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sabit k değerini min⁻¹ cinsinden bulun.

T₀ = 85 °CT_a = 24 °CT(24) = 28 °C

k = min⁻¹

2.Diferansiyel denklemlerZor

x > 0 için y(1) = 4 koşuluyla y′ + y/x = 6x² başlangıç değer problemini çözün. y(3) değerini bulun.

y′ + y/x = 6x²y(1) = 4

y(3) =

3.İntegrallerOrta

I = ∫₀¹ e^x dx'i hesaplayın.

f(x) = e^x[0, 1]

I =

4.İntegrallerZor

y = 4x doğrusu ile y = 2x² parabolü arasındaki bölge x ekseni etrafında döndürülüyor. Cismin hacmini V bulun.

y = 4xy = 2x²

V =

5.TürevlerOrta

f(x) = x³·e^−0,5x olsun. f′(1,5)'yi bulun.

f(x) = x³·e^−0,5xx = 1,5

f′(1.5) =

6.TürevlerZor

f(x) = 2x² + 4 fonksiyonunun x = −1 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.

f(x) = 2x² + 4x = −1

b =

7.Sayısal yöntemlerOrta

∫₀¹ sin(x²) dx integralini n = 2 şeritli yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. T değerini verin.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 2

T =

8.Sayısal yöntemlerZor

y′ = t² + y², y(0) = 0 için h = 0,5 ile klasik Runge–Kutta yönteminin (RK4) bir adımını atın. y₁ ≈ y(0,5) değerini bulun.

y′ = t² + y²y(0) = 0h = 0,5

y₁ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: k = 0,1135 min⁻¹

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Sıcaklık farklarının oranı

e^−24k = 4/61

k için çözün

k = ln(61/4)/24 = 0,1135 min⁻¹

Cevap

k = 0,1135 min⁻¹

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(3) = 41,33

İntegrasyon çarpanı

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

İntegral alın

(x¹y)′ = 6x³ → x¹y = 6x⁴/4 + C

Başlangıç koşulu

4 = 6/4 + C → C = 2,5

Hesaplayın

y(3) = (6·3⁴/4 + 2,5)/3¹ = 41,33

Cevap

y(3) = 41,33

3.İntegraller

Cevap: I = 1,718

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

İlkel fonksiyon

F(x) = e^x/1

Sınırları yerine koyun

I = (e¹ − 1)/1 = (2,718 − 1)/1 = 1,718

Cevap

I = 1,718

4.İntegraller

Cevap: V = 53,62

Dönel cisim hacimleri: y = f(x) eğrisi altındaki x = a’dan x = b’ye bölgeyi x ekseni etrafında döndürmek, x’teki kesiti f(x) yarıçaplı bir disk olan bir cisim oluşturur. Diskleri toplamak V = π∫ₐᵇ f(x)² dx verir. Bölge bir dış R(x) eğrisi ile bir iç r(x) eğrisi arasında olduğunda her dilim bir rondeladır: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Yarıçapların karesini çıkarmadan önce alın.

Kesişim noktaları

4x = 2x² → x = 0, x = 2

Rondela (pul) yöntemi

V = π∫₀² ((4x)² − (2x²)²) dx

İntegral alın

V = π(16·2³/3 − 4·2⁵/5) = π·17,07 = 53,62

Cevap

V = 53,62

5.Türevler

Cevap: f′(1.5) = 2,391

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Çarpım kuralı

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(3x² + (−0,5)·x³)

Yerine koyun

f′(1,5) = 0,4724·(6,75 + (−1,688)) = 2,391

Cevap

f′(1,5) = 2,391

6.Türevler

Cevap: b = 2

Nokta ve eğim

f(−1) = 6

f′(x) = 4x → f′(−1) = −4

x = 0'da teğet

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − (−4)·(−1) = 2

Cevap

b = 2

7.Sayısal yöntemler

Cevap: T = 0,3341

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Düğümler ve değerler

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,247404 + 0,841471 = 1,336279

Yamuk kuralı

T = (0,5/2)·1,336279 = 0,3341

Cevap

T = 0,3341

Bu integralin temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ters türevi yoktur; sayısal bir kuralın tam da gerektiği durum budur.

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₁ = 0,04179

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Dört eğim

k₁ = f(0, 0) = 0

k₂ = f(0,25, 0) = 0,0625

k₃ = f(0,25, 0,015625) = 0,0627441

k₄ = f(0,5, 0,0313721) = 0,250984

Birleştirin

y₁ = 0 + (0,5/6)(0 + 2·0,0625 + 2·0,0627441 + 0,250984) = 0,04179

Cevap

y₁ = 0,04179

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations