Diferansiyel denklemler
- Üstel büyüme/azalma
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- Yarı ömür
- k = ln 2 / t½
- Newton’un soğuma yasası
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- İntegrasyon çarpanı
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- Karıştırma tankı
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
İntegraller
- Kuvvet kuralı
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Belirli integral
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Temel integraller
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Eğriler arasındaki alan
- ∫ab (f − g) dx
Yöntem
- Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
- Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
- Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
- Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.
Türevler
- Kuvvet kuralı
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Çarpım kuralı
- (uv)′ = u′v + uv′
- Bölüm kuralı
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Zincir kuralı
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Temel türevler
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Yöntem
- Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
- x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
- Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
- Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.
Sayısal yöntemler
- Yarılama yöntemi
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- Newton–Raphson
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- Doğrusal enterpolasyon
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- Yamuk kuralı
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- Simpson kuralı (n çift)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- Yamuk hata sınırı
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- Euler
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- Heun
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Yöntem
- Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
- Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
- Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
- Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.
2Alıştırma soruları
1.Diferansiyel denklemlerOrta
5 °C’deki bir kutu gazoz buzdolabından çıkarılıp 25 °C’deki bir odaya alınıyor. 10 dakika sonra sıcaklığı 15 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sabit k değerini min⁻¹ cinsinden bulun.
T0 = 5 °CTa = 25 °CT(10) = 15 °C
k = min⁻¹
2.Diferansiyel denklemlerZor
y(0) = 4 koşuluyla y′ + y = 5e−2t denklemini çözün. y(2) değerini bulun.
y′ + y = 5e−2ty(0) = 4
y(2) =
3.İntegrallerOrta
I = ∫13 5/x dx'i hesaplayın.
f(x) = 5/x[1, 3]
I =
4.İntegrallerZor
y = 0,5x2 ve y = 2x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.
y = 0,5x2y = 2x
A =
5.TürevlerOrta
f(x) = x3·ex olsun. f′(0,5)'yi bulun.
f(x) = x3·exx = 0,5
f′(0.5) =
6.TürevlerZor
f(x) = x3 + 4,5x2 + 6x − 6 olsun. Yerel minimumun x koordinatı x'i bulun.
f(x) = x3 + 4,5x2 + 6x − 6
x =
7.Sayısal yöntemlerOrta
∫01,5 √(1 + x³) dx integralini n = 4 şeritli Simpson kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. S değerini verin.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 4
S =
8.Sayısal yöntemlerZor
y′ = t² + y², y(0) = 0,5 için h = 0,2 ile klasik Runge–Kutta yönteminin (RK4) bir adımını atın. y₁ ≈ y(0,2) değerini bulun.
y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,2
y1 =
3Çözeltiler
1.Diferansiyel denklemler
Cevap: k = 0,06931 min⁻¹
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Sıcaklık farklarının oranı
e−10k = -10/-20
k için çözün
k = ln(-20/-10)/10 = 0,06931 min⁻¹
Cevap
k = 0,06931 min⁻¹
2.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(2) = 1,126
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
İntegrasyon çarpanı
μ = et
(ety)′ = 5e−t
Genel çözüm
y = 5/(−1)·e−2t + C·e−t = −5·e−2t + C·e−t
Başlangıç koşulu
4 = −5 + C → C = 9
Hesaplayın
y(2) = −5·0,01832 + 9·0,1353 = 1,126
Cevap
y(2) = 1,126
3.İntegraller
Cevap: I = 5,493
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
İlkel fonksiyon
F(x) = 5·ln x
Sınırları yerine koyun
I = 5·(ln 3 − ln 1) = 5·ln 3 = 5,493
Cevap
I = 5,493
4.İntegraller
Cevap: A = 5,333
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Kesişim noktaları
0,5x2 = 2x → x = 0, x = 4
Üst eksi alt integrali alın
A = [x2 − 0,1667x3]04 = 5,333
Cevap
A = 5,333
5.Türevler
Cevap: f′(0.5) = 1,443
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Çarpım kuralı
f′(x) = u′v + uv′ = ex·(3x2 + 1·x3)
Yerine koyun
f′(0,5) = 1,649·(0,75 + 0,125) = 1,443
Cevap
f′(0,5) = 1,443
6.Türevler
Cevap: x = −1
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Türev
f′(x) = 3x2 + 9x + 6 = 3·(x2 + 3x + 2)
f′(x) = 0'ı çözün
x = −2 veya x = −1
Hangisi hangisi
f″(x) = 6x + 9: maksimumda negatif, minimumda pozitif.
f″(−2) = −3, f″(−1) = 3
x = −1
Cevap
x = −1
7.Sayısal yöntemler
Cevap: S = 1,976
Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.
Düğümler ve değerler
h = 0,375
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1,026028 + 2·1,192424 + 4·1,556865 + 2,09165 = 15,808071
Simpson kuralı
S = (0,375/3)·15,808071 = 1,976
Cevap
S = 1,976
Bu integralin temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ters türevi yoktur; sayısal bir kuralın tam da gerektiği durum budur.
8.Sayısal yöntemler
Cevap: y1 = 0,5584
y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.
Dört eğim
k₁ = f(0, 0,5) = 0,25
k₂ = f(0,1, 0,525) = 0,285625
k₃ = f(0,1, 0,528563) = 0,289378
k₄ = f(0,2, 0,557876) = 0,351225
Birleştirin
y₁ = 0,5 + (0,2/6)(0,25 + 2·0,285625 + 2·0,289378 + 0,351225) = 0,5584
Cevap
y1 = 0,5584
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations