Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

y″ + 2y′ + y = 0 denklemini y(0) = 1 ve y′(0) = 0 ile çözün. y(1,5) değerini bulun.

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(1.5) =

2.Diferansiyel denklemlerZor

Bir tankta, içinde 10 kg tuz çözünmüş 1000 L su var. Litre başına 0,05 kg tuz içeren tuzlu su 20 L/min debiyle giriyor ve iyi karışmış çözelti aynı debiyle çıkıyor. 60 dakika sonra tankta ne kadar tuz m vardır?

V = 1000 Lm₀ = 10 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

3.İntegrallerOrta

I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx'i hesaplayın.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

4.İntegrallerZor

y = 0,5x² ve y = 4x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 0,5x²y = 4x

A =

5.TürevlerOrta

f(x) = (3x − 1)⁵ olsun. f′(0)'yi bulun.

f(x) = (3x − 1)⁵x = 0

f′(0) =

6.TürevlerZor

f(x) = x³ − 7,5x² + 12x − 5 olsun. Yerel minimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x³ − 7,5x² + 12x − 5

x =

7.Sayısal yöntemlerOrta

Yamuk kuralı ∫₀² eˣ dx için kullanılıyor. Hata en çok (b − a)³·M/(12n²)’dir; M = [0, 2] üzerinde max|f″|. Hatanın 0,001 değerinin altında olmasını garanti eden en küçük şerit sayısını, n, bulun.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 0,001

n =

8.Sayısal yöntemlerZor

y′ = cos t − y, y(0) = 0,5 için h = 0,5 ile klasik Runge–Kutta yönteminin (RK4) bir adımını atın. y₁ ≈ y(0,5) değerini bulun.

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,5

y₁ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(1.5) = 0,5578

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = e^rt deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·e^r₁t + B·e^r₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·e^rt verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 biçiminde yazıldığında ω_n doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Çift kök

(r + 1)² = 0 → r = −1

Sabitler

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 1A → B = 0 + 1 = 1

Hesaplayın

y(1,5) = (1 + 1·1,5)·e^−1,5 = 0,5578

Cevap

y(1,5) = 0,5578

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: m = 37,95 kg

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Denklemi kurun

dm/dt = 20·0,05 − (20/1000)·m = 1 − 0,02·m

Çözün

İntegrasyon çarpanı e^rt/V’dir; çözüm c·V denge değerine yaklaşır.

m(t) = 50 + (−40)·e^−t/50

t’yi yerine koyun

m(60) = 50 + (−40)·0,3012 = 37,95 kg

Cevap

m = 37,95 kg

3.İntegraller

Cevap: I = 156

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Değişken değiştirme

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

İntegral alın ve sınırları koyun

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

Cevap

I = 156

4.İntegraller

Cevap: A = 42,67

Kesişim noktaları

0,5x² = 4x → x = 0, x = 8

Üst eksi alt integrali alın

A = [2x² − 0,1667x³]₀⁸ = 42,67

Cevap

A = 42,67

5.Türevler

Cevap: f′(0) = 15

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Zincir kuralı

f′(x) = 5·(3x − 1)⁴·3

Yerine koyun

f′(0) = 5·(−1)⁴·3 = 15

Cevap

f′(0) = 15

6.Türevler

Cevap: x = 4

Türev

f′(x) = 3x² − 15x + 12 = 3·(x² − 5x + 4)

f′(x) = 0'ı çözün

x = 1 veya x = 4

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x − 15: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(1) = −9, f″(4) = 9

x = 4

Cevap

x = 4

7.Sayısal yöntemler

Cevap: n = 71

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

İkinci türev sınırı

M = e² = 7,389

n'yi çözün

n² > 8·7,389/(12·0,001) = 4926

n > 70,19 → n = 71

Cevap

n = 71

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₁ = 0,6783

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Dört eğim

k₁ = f(0, 0,5) = 0,5

k₂ = f(0,25, 0,625) = 0,343912

k₃ = f(0,25, 0,585978) = 0,382934

k₄ = f(0,5, 0,691467) = 0,186115

Birleştirin

y₁ = 0,5 + (0,5/6)(0,5 + 2·0,343912 + 2·0,382934 + 0,186115) = 0,6783

Cevap

y₁ = 0,6783

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations