Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

y″ + 7y′ + 12y = 0 denklemini y(0) = 5 ve y′(0) = -2 ile çözün. y(1,5) değerini bulun.

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 5y′(0) = -2

y(1.5) =

2.Diferansiyel denklemlerZor

y″ + 2y′ + 26y = 0 denklemini y(0) = 5 ve y′(0) = 0 ile (durgun halden bırakılarak) çözün. y(0,5) değerini bulun; açılar radyan cinsinden.

y″ + 2y′ + 26y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(0.5) =

3.İntegrallerOrta

I = ∫₂⁴ 3/x dx'i hesaplayın.

f(x) = 3/x[2, 4]

I =

4.İntegrallerZor

I = ∫₀² x²·eˣ dx değerini hesaplayın.

∫₀² x²eˣ dx

I =

5.TürevlerOrta

f(x) = x·sin(2x) olsun, x radyan cinsinden. f′(1,5)'i bulun.

f(x) = x·sin(2x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

6.TürevlerZor

f(x) = x³ + 1,5x² + 1 olsun. Yerel maksimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x³ + 1,5x² + 1

x =

7.Sayısal yöntemlerOrta

Bir aracın sürati her 5 s’de bir ölçülüyor (tablo). t = 0’dan t = 20 s’ye kadar aldığı yolu, s, Simpson kuralıyla tahmin edin.

h = 5 sn = 4

s = m

8.Sayısal yöntemlerZor

y₃ ≈ y(0,3) değerini tahmin etmek için y′ = cos t − y, y(0) = 2 üzerinde h = 0,1 ile Heun yöntemini (geliştirilmiş Euler) kullanın.

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,1

y₃ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(1.5) = 0,1677

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = e^rt deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·e^r₁t + B·e^r₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·e^rt verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 biçiminde yazıldığında ω_n doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Karakteristik kökler

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

Başlangıç değerlerinden sabitler

A + B = 5, −3A − 4B = -2

A = 18, B = −13

Hesaplayın

y(1,5) = 18·e^−4,5 + (−13)·e⁻⁶ = 0,1677

Cevap

y(1,5) = 0,1677

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(0.5) = −2,067

Karmaşık kökler

r = −1 ± 5j

Sabitler

A = 5, B = 1·5/5 = 1

Hesaplayın

y(0,5) = e^−0,5(5·cos 2,5 + 1·sin 2,5) = −2,067

Cevap

y(0,5) = −2,067

3.İntegraller

Cevap: I = 2,079

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

İlkel fonksiyon

F(x) = 3·ln x

Sınırları yerine koyun

I = 3·(ln 4 − ln 2) = 3·ln 2 = 2,079

Cevap

I = 2,079

4.İntegraller

Cevap: I = 12,78

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

Birinci tur

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

İkinci tur

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limitler

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

Cevap

I = 12,78

5.Türevler

Cevap: f′(1.5) = −2,829

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Çarpım ve zincir kuralı

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Yerine koyun

f′(1,5) = 0,1411 + 3·(−0,99) = −2,829

Cevap

f′(1,5) = −2,829

6.Türevler

Cevap: x = −1

Türev

f′(x) = 3x² + 3x = 3·(x² + x)

f′(x) = 0'ı çözün

x = −1 veya x = 0

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x + 3: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(−1) = −3, f″(0) = 3

x = −1

Cevap

x = −1

7.Sayısal yöntemler

Cevap: s = 193,3 m

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Ağırlıklı toplam

3 + 4·9 + 2·8 + 4·12 + 13 = 116

Simpson kuralı

s = (5/3)·116 = 193,3 m

Cevap

s = 193,3 m

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₃ = 1,737

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Heun adımları

y₁ = 2 + (0,1/2)(−1 − 0,904996) = 1,90475

y₂ = 1,90475 + (0,1/2)(−0,909746 − 0,833709) = 1,817577

y₃ = 1,817577 + (0,1/2)(−0,837511 − 0,77849) = 1,736777

Grafik

y₃ = 1,737

Cevap

y₃ = 1,737

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations