Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

91 °C’deki bir fincan kahve 18 °C’deki bir odada bırakılıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,08 min⁻¹ ile 7 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.

T₀ = 91 °CT_a = 18 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 7 min

T = °C

2.Diferansiyel denklemlerZor

y(0) = 3 koşuluyla y′ + 0,5y = 2e^−3t denklemini çözün. y(2) değerini bulun.

y′ + 0,5y = 2e^−3ty(0) = 3

y(2) =

3.İntegrallerOrta

I = ∫₂⁶ 2/x dx'i hesaplayın.

f(x) = 2/x[2, 6]

I =

4.İntegrallerZor

I = ∫₀³ x²·eˣ dx değerini hesaplayın.

∫₀³ x²eˣ dx

I =

5.TürevlerOrta

f(x) = x·sin(3x) olsun, x radyan cinsinden. f′(1)'i bulun.

f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad

f′(1) =

6.TürevlerZor

f(x) = x³ − 3x − 6 olsun. Yerel maksimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x³ − 3x − 6

x =

7.Sayısal yöntemlerOrta

∫₀² √(1 + x³) dx integralini n = 2 şeritli Simpson kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. S değerini verin.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 2

S =

8.Sayısal yöntemlerZor

y₃ ≈ y(1,5) değerini tahmin etmek için y′ = e^−ty, y(0) = 0 üzerinde h = 0,5 ile Euler yöntemini kullanın.

y′ = e^−tyy(0) = 0h = 0,5

y₃ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: T = 59,7 °C

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma yasasının çözümü

T(t) = 18 + 73·e^−0,08t

t’yi yerine koyun

T(7) = 18 + 73·0,5712 = 59,7 °C

Cevap

T = 59,7 °C

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(2) = 1,396

İntegrasyon çarpanı

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 2e^−2,5t

Genel çözüm

y = 2/(−2,5)·e^−3t + C·e^−0,5t = −0,8·e^−3t + C·e^−0,5t

Başlangıç koşulu

3 = −0,8 + C → C = 3,8

Hesaplayın

y(2) = −0,8·0,002479 + 3,8·0,3679 = 1,396

Cevap

y(2) = 1,396

3.İntegraller

Cevap: I = 2,197

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

İlkel fonksiyon

F(x) = 2·ln x

Sınırları yerine koyun

I = 2·(ln 6 − ln 2) = 2·ln 3 = 2,197

Cevap

I = 2,197

4.İntegraller

Cevap: I = 98,43

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

Birinci tur

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

İkinci tur

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limitler

20,09·(5) − 1·2 = 98,43

Cevap

I = 98,43

5.Türevler

Cevap: f′(1) = −2,829

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Çarpım ve zincir kuralı

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Yerine koyun

f′(1) = 0,1411 + 3·(−0,99) = −2,829

Cevap

f′(1) = −2,829

6.Türevler

Cevap: x = −1

Türev

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

f′(x) = 0'ı çözün

x = −1 veya x = 1

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = −1

Cevap

x = −1

7.Sayısal yöntemler

Cevap: S = 3,219

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Düğümler ve değerler

h = 1

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1,414214 + 3 = 9,656854

Simpson kuralı

S = (1/3)·9,656854 = 3,219

Cevap

S = 3,219

Bu integralin temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ters türevi yoktur; sayısal bir kuralın tam da gerektiği durum budur.

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₃ = 1,095

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Euler adımları

y₁ = 0 + 0,5·(1) = 0,5

y₂ = 0,5 + 0,5·(0,778801) = 0,8894

y₃ = 0,8894 + 0,5·(0,410902) = 1,094851

Grafik

y₃ = 1,095

Cevap

y₃ = 1,095

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations