Diferansiyel denklemler
- Üstel büyüme/azalma
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- Yarı ömür
- k = ln 2 / t½
- Newton’un soğuma yasası
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- İntegrasyon çarpanı
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- Karıştırma tankı
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
İntegraller
- Kuvvet kuralı
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Belirli integral
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Temel integraller
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Eğriler arasındaki alan
- ∫ab (f − g) dx
Yöntem
- Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
- Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
- Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
- Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.
Türevler
- Kuvvet kuralı
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Çarpım kuralı
- (uv)′ = u′v + uv′
- Bölüm kuralı
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Zincir kuralı
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Temel türevler
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Yöntem
- Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
- x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
- Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
- Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.
Sayısal yöntemler
- Yarılama yöntemi
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- Newton–Raphson
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- Doğrusal enterpolasyon
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- Yamuk kuralı
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- Simpson kuralı (n çift)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- Yamuk hata sınırı
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- Euler
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- Heun
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Yöntem
- Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
- Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
- Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
- Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.
2Alıştırma soruları
1.Diferansiyel denklemlerOrta
93 °C’deki bir fincan kahve 24 °C’deki bir odada bırakılıyor. 15 dakika sonra sıcaklığı 62 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sabit k değerini min⁻¹ cinsinden bulun.
T0 = 93 °CTa = 24 °CT(15) = 62 °C
k = min⁻¹
2.Diferansiyel denklemlerZor
x > 0 için y(1) = 4 koşuluyla y′ + 3y/x = x2 başlangıç değer problemini çözün. y(3) değerini bulun.
y′ + 3y/x = x2y(1) = 4
y(3) =
3.İntegrallerOrta
I = ∫03 e−x dx'i hesaplayın.
f(x) = e−x[0, 3]
I =
4.İntegrallerZor
y = 0,5x2 ve y = x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.
y = 0,5x2y = x
A =
5.TürevlerOrta
f(x) = x2·e−0,5x olsun. f′(1)'yi bulun.
f(x) = x2·e−0,5xx = 1
f′(1) =
6.TürevlerZor
f(x) = x3 − 4,5x2 + 6x + 6 olsun. Yerel maksimumun x koordinatı x'i bulun.
f(x) = x3 − 4,5x2 + 6x + 6
x =
7.Sayısal yöntemlerOrta
∫02 eˣ dx integralini n = 2 ile yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın ve tam değerle karşılaştırın. Mutlak hatayı, |E| = |T − I|, bulun.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
8.Sayısal yöntemlerZor
y′ = cos t − y, y(0) = 1 için h = 0,2 ile klasik Runge–Kutta yönteminin (RK4) bir adımını atın. y₁ ≈ y(0,2) değerini bulun.
y′ = cos t − yy(0) = 1h = 0,2
y1 =
3Çözeltiler
1.Diferansiyel denklemler
Cevap: k = 0,03977 min⁻¹
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Sıcaklık farklarının oranı
e−15k = 38/69
k için çözün
k = ln(69/38)/15 = 0,03977 min⁻¹
Cevap
k = 0,03977 min⁻¹
2.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(3) = 4,642
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
İntegrasyon çarpanı
μ = e∫3/x dx = x3
İntegral alın
(x3y)′ = x5 → x3y = 1x6/6 + C
Başlangıç koşulu
4 = 1/6 + C → C = 3,833
Hesaplayın
y(3) = (1·36/6 + 3,833)/33 = 4,642
Cevap
y(3) = 4,642
3.İntegraller
Cevap: I = 0,9502
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
İlkel fonksiyon
F(x) = e−x/(−1)
Sınırları yerine koyun
I = (e−3 − 1)/(−1) = (0,04979 − 1)/(−1) = 0,9502
Cevap
I = 0,9502
4.İntegraller
Cevap: A = 0,6667
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Kesişim noktaları
0,5x2 = x → x = 0, x = 2
Üst eksi alt integrali alın
A = [0,5x2 − 0,1667x3]02 = 0,6667
Cevap
A = 0,6667
5.Türevler
Cevap: f′(1) = 0,9098
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Çarpım kuralı
f′(x) = u′v + uv′ = e−0,5x·(2x + (−0,5)·x2)
Yerine koyun
f′(1) = 0,6065·(2 + (−0,5)) = 0,9098
Cevap
f′(1) = 0,9098
6.Türevler
Cevap: x = 1
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Türev
f′(x) = 3x2 − 9x + 6 = 3·(x2 − 3x + 2)
f′(x) = 0'ı çözün
x = 1 veya x = 2
Hangisi hangisi
f″(x) = 6x − 9: maksimumda negatif, minimumda pozitif.
f″(1) = −3, f″(2) = 3
x = 1
Cevap
x = 1
7.Sayısal yöntemler
Cevap: |E| = 0,5238
Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.
Tam değer
I = 6,389056
Yamuk kuralı
T = (1/2)·(1 + 2·2,718282 + 7,389056) = 6,91281
Hata
|E| = |6,91281 − 6,389056| = 0,5238
Cevap
|E| = 0,5238
Bağıl hata: %8,198.
8.Sayısal yöntemler
Cevap: y1 = 0,9987
y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.
Dört eğim
k₁ = f(0, 1) = 0
k₂ = f(0,1, 1) = −0,00499583
k₃ = f(0,1, 0,9995) = −0,00449625
k₄ = f(0,2, 0,999101) = −0,0190342
Birleştirin
y₁ = 1 + (0,2/6)(0 + 2·−0,00499583 + 2·−0,00449625 − 0,0190342) = 0,9987
Cevap
y1 = 0,9987
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations