Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

500 °C’deki dövme çelik bir parça 26 °C’deki bir atölyede soğumaya bırakılıyor. 37 dakika sonra sıcaklığı 101 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sabit k değerini min⁻¹ cinsinden bulun.

T₀ = 500 °CT_a = 26 °CT(37) = 101 °C

k = min⁻¹

2.Diferansiyel denklemlerZor

y(0) = 3 koşuluyla y′ + 2y = 8e^−0,5t denklemini çözün. y(1,5) değerini bulun.

y′ + 2y = 8e^−0,5ty(0) = 3

y(1.5) =

3.İntegrallerOrta

I = ∫₁^1,5 x·ln x dx değerini hesaplayın.

∫₁^1,5 x ln x dx

I =

4.İntegrallerZor

y = 3x doğrusu ile y = 2x² parabolü arasındaki bölge x ekseni etrafında döndürülüyor. Cismin hacmini V bulun.

y = 3xy = 2x²

V =

5.TürevlerOrta

f(x) = ln(x² + 2) olsun. f′(2)'i bulun.

f(x) = ln(x² + 2)x = 2

f′(2) =

6.TürevlerZor

f(x) = 3x² + 2x − 3 fonksiyonunun x = −1 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.

f(x) = 3x² + 2x − 3x = −1

b =

7.Sayısal yöntemlerOrta

∫₀³ sin x dx integralini n = 4 ile yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın ve tam değerle karşılaştırın. Mutlak hatayı, |E| = |T − I|, bulun.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 3]n = 4

|E| =

8.Sayısal yöntemlerZor

y₄ ≈ y(0,4) değerini tahmin etmek için y′ = t − y, y(0) = −1 üzerinde h = 0,1 ile Euler yöntemini kullanın.

y′ = t − yy(0) = −1h = 0,1

y₄ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: k = 0,04983 min⁻¹

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Sıcaklık farklarının oranı

e^−37k = 75/474

k için çözün

k = ln(474/75)/37 = 0,04983 min⁻¹

Cevap

k = 0,04983 min⁻¹

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(1.5) = 2,403

İntegrasyon çarpanı

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 8e^1,5t

Genel çözüm

y = 8/1,5·e^−0,5t + C·e^−2t = 5,333·e^−0,5t + C·e^−2t

Başlangıç koşulu

3 = 5,333 + C → C = −2,333

Hesaplayın

y(1,5) = 5,333·0,4724 + (−2,333)·0,04979 = 2,403

Cevap

y(1,5) = 2,403

3.İntegraller

Cevap: I = 0,1436

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

u ve dv’yi seçin

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

İlkel fonksiyon

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limitler

(1,125·ln 1,5 − 0,5625) − (0 − 0,25) = 0,1436

Cevap

I = 0,1436

4.İntegraller

Cevap: V = 12,72

Dönel cisim hacimleri: y = f(x) eğrisi altındaki x = a’dan x = b’ye bölgeyi x ekseni etrafında döndürmek, x’teki kesiti f(x) yarıçaplı bir disk olan bir cisim oluşturur. Diskleri toplamak V = π∫ₐᵇ f(x)² dx verir. Bölge bir dış R(x) eğrisi ile bir iç r(x) eğrisi arasında olduğunda her dilim bir rondeladır: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Yarıçapların karesini çıkarmadan önce alın.

Kesişim noktaları

3x = 2x² → x = 0, x = 1,5

Rondela (pul) yöntemi

V = π∫₀^1,5 ((3x)² − (2x²)²) dx

İntegral alın

V = π(9·1,5³/3 − 4·1,5⁵/5) = π·4,05 = 12,72

Cevap

V = 12,72

5.Türevler

Cevap: f′(2) = 0,6667

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Logaritma için zincir kuralı

f′(x) = 2x/(x² + 2)

Yerine koyun

f′(2) = 4/6 = 0,6667

Cevap

f′(2) = 0,6667

6.Türevler

Cevap: b = −6

Nokta ve eğim

f(−1) = −2

f′(x) = 6x + 2 → f′(−1) = −4

x = 0'da teğet

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−4)·(−1) = −6

Cevap

b = −6

7.Sayısal yöntemler

Cevap: |E| = 0,09417

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Tam değer

I = 1,989992

Yamuk kuralı

T = (0,75/2)·(0 + 2·0,681639 + 2·0,997495 + 2·0,778073 + 0,14112) = 1,895825

Hata

|E| = |1,895825 − 1,989992| = 0,09417

Cevap

|E| = 0,09417

Bağıl hata: %4,732.

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₄ = −0,6

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Euler adımları

y₁ = −1 + 0,1·(1) = −0,9

y₂ = −0,9 + 0,1·(1) = −0,8

y₃ = −0,8 + 0,1·(1) = −0,7

y₄ = −0,7 + 0,1·(1) = −0,6

Grafik

y₄ = −0,6

Cevap

y₄ = −0,6

Tam değer y(0,4) = −0,6’dir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations