Diferansiyel denklemler
- Üstel büyüme/azalma
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- Yarı ömür
- k = ln 2 / t½
- Newton’un soğuma yasası
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- İntegrasyon çarpanı
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- Karıştırma tankı
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
İntegraller
- Kuvvet kuralı
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Belirli integral
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Temel integraller
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Eğriler arasındaki alan
- ∫ab (f − g) dx
Yöntem
- Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
- Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
- Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
- Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.
Türevler
- Kuvvet kuralı
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Çarpım kuralı
- (uv)′ = u′v + uv′
- Bölüm kuralı
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Zincir kuralı
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Temel türevler
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Yöntem
- Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
- x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
- Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
- Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.
Sayısal yöntemler
- Yarılama yöntemi
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- Newton–Raphson
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- Doğrusal enterpolasyon
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- Yamuk kuralı
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- Simpson kuralı (n çift)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- Yamuk hata sınırı
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- Euler
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- Heun
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Yöntem
- Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
- Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
- Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
- Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.
2Alıştırma soruları
1.Diferansiyel denklemlerOrta
340 °C’deki dövme çelik bir parça 24 °C’deki bir atölyede soğumaya bırakılıyor. 20 dakika sonra sıcaklığı 283 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sabit k değerini min⁻¹ cinsinden bulun.
T0 = 340 °CTa = 24 °CT(20) = 283 °C
k = min⁻¹
2.Diferansiyel denklemlerZor
x > 0 için y(1) = 0 koşuluyla y′ + 2y/x = 6 başlangıç değer problemini çözün. y(3) değerini bulun.
y′ + 2y/x = 6y(1) = 0
y(3) =
3.İntegrallerOrta
I = ∫28 3/x dx'i hesaplayın.
f(x) = 3/x[2, 8]
I =
4.İntegrallerZor
y = 4 − x² parabolü ile x ekseni arasındaki bölgenin alanı A'ı bulun.
y = 4 − x²
A =
5.TürevlerOrta
f(x) = x·sin(2x) olsun, x radyan cinsinden. f′(1)'i bulun.
f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad
f′(1) =
6.TürevlerZor
f(x) = 0,5x2 − 3x − 4 fonksiyonunun x = 1 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.
f(x) = 0,5x2 − 3x − 4x = 1
b =
7.Sayısal yöntemlerOrta
∫01 sin x dx integralini n = 2 ile yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın ve tam değerle karşılaştırın. Mutlak hatayı, |E| = |T − I|, bulun.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
8.Sayısal yöntemlerZor
y2 ≈ y(0,5) değerini tahmin etmek için y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1 üzerinde h = 0,25 ile Heun yöntemini (geliştirilmiş Euler) kullanın.
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,25
y2 =
3Çözeltiler
1.Diferansiyel denklemler
Cevap: k = 0,009946 min⁻¹
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Sıcaklık farklarının oranı
e−20k = 259/316
k için çözün
k = ln(316/259)/20 = 0,009946 min⁻¹
Cevap
k = 0,009946 min⁻¹
2.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(3) = 5,778
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
İntegrasyon çarpanı
μ = e∫2/x dx = x2
İntegral alın
(x2y)′ = 6x2 → x2y = 6x3/3 + C
Başlangıç koşulu
0 = 6/3 + C → C = −2
Hesaplayın
y(3) = (6·33/3 + (−2))/32 = 5,778
Cevap
y(3) = 5,778
3.İntegraller
Cevap: I = 4,159
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
İlkel fonksiyon
F(x) = 3·ln x
Sınırları yerine koyun
I = 3·(ln 8 − ln 2) = 3·ln 4 = 4,159
Cevap
I = 4,159
4.İntegraller
Cevap: A = 10,67
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Sıfırlar
4 − x² = 0 → x = ±2
İntegral alın
A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67
Cevap
A = 10,67
5.Türevler
Cevap: f′(1) = 0,077
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Çarpım ve zincir kuralı
f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)
Yerine koyun
f′(1) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077
Cevap
f′(1) = 0,077
6.Türevler
Cevap: b = −4,5
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Nokta ve eğim
f(1) = −6,5
f′(x) = x − 3 → f′(1) = −2
x = 0'da teğet
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −6,5 − (−2)·1 = −4,5
Cevap
b = −4,5
7.Sayısal yöntemler
Cevap: |E| = 0,009617
Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.
Tam değer
I = 0,459698
Yamuk kuralı
T = (0,5/2)·(0 + 2·0,479426 + 0,841471) = 0,450081
Hata
|E| = |0,450081 − 0,459698| = 0,009617
Cevap
|E| = 0,009617
Bağıl hata: %2,092.
8.Sayısal yöntemler
Cevap: y2 = 1,668
y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.
Heun adımları
y₁ = 1 + (0,25/2)(1 + 1,307439) = 1,28843
y₂ = 1,28843 + (0,25/2)(1,316566 + 1,723449) = 1,668432
Grafik
y2 = 1,668
Cevap
y2 = 1,668
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations