Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

86 °C’deki bir fincan kahve 23 °C’deki bir odada bırakılıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,06 min⁻¹ ile 29 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.

T₀ = 86 °CT_a = 23 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 29 min

T = °C

2.Diferansiyel denklemlerZor

x > 0 için y(1) = 1 koşuluyla y′ + y/x = x başlangıç değer problemini çözün. y(2) değerini bulun.

y′ + y/x = xy(1) = 1

y(2) =

3.İntegrallerOrta

I = ∫₀² e^−0,5x dx'i hesaplayın.

f(x) = e^−0,5x[0, 2]

I =

4.İntegrallerZor

I = ∫₀^1,5 x²·eˣ dx değerini hesaplayın.

∫₀^1,5 x²eˣ dx

I =

5.TürevlerOrta

f(x) = ln(x² + 4) olsun. f′(−1)'i bulun.

f(x) = ln(x² + 4)x = −1

f′(−1) =

6.TürevlerZor

f(x) = x³ − 4,5x² + 6x + 3 olsun. Yerel maksimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x³ − 4,5x² + 6x + 3

x =

7.Sayısal yöntemlerOrta

∫₀¹ e^−x² dx integralini n = 4 şeritli yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. T değerini verin.

f(x) = e^−x²[a, b] = [0, 1]n = 4

T =

8.Sayısal yöntemlerZor

y′ = e^−ty, y(0) = 1 için h = 0,5 ile klasik Runge–Kutta yönteminin (RK4) bir adımını atın. y₁ ≈ y(0,5) değerini bulun.

y′ = e^−tyy(0) = 1h = 0,5

y₁ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: T = 34,06 °C

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma yasasının çözümü

T(t) = 23 + 63·e^−0,06t

t’yi yerine koyun

T(29) = 23 + 63·0,1755 = 34,06 °C

Cevap

T = 34,06 °C

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(2) = 1,667

İntegrasyon çarpanı

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

İntegral alın

(x¹y)′ = x² → x¹y = 1x³/3 + C

Başlangıç koşulu

1 = 1/3 + C → C = 0,6667

Hesaplayın

y(2) = (1·2³/3 + 0,6667)/2¹ = 1,667

Cevap

y(2) = 1,667

3.İntegraller

Cevap: I = 1,264

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

İlkel fonksiyon

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

Sınırları yerine koyun

I = (e⁻¹ − 1)/(−0,5) = (0,3679 − 1)/(−0,5) = 1,264

Cevap

I = 1,264

4.İntegraller

Cevap: I = 3,602

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

Birinci tur

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

İkinci tur

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limitler

4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602

Cevap

I = 3,602

5.Türevler

Cevap: f′(−1) = −0,4

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Logaritma için zincir kuralı

f′(x) = 2x/(x² + 4)

Yerine koyun

f′(−1) = −2/5 = −0,4

Cevap

f′(−1) = −0,4

6.Türevler

Cevap: x = 1

Türev

f′(x) = 3x² − 9x + 6 = 3·(x² − 3x + 2)

f′(x) = 0'ı çözün

x = 1 veya x = 2

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x − 9: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(1) = −3, f″(2) = 3

x = 1

Cevap

x = 1

7.Sayısal yöntemler

Cevap: T = 0,743

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Düğümler ve değerler

h = 0,25

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,939413 + 2·0,778801 + 2·0,569783 + 0,367879 = 5,943873

Yamuk kuralı

T = (0,25/2)·5,943873 = 0,743

Cevap

T = 0,743

Bu integralin temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ters türevi yoktur; sayısal bir kuralın tam da gerektiği durum budur.

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₁ = 1,371

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Dört eğim

k₁ = f(0, 1) = 1

k₂ = f(0,25, 1,25) = 0,731616

k₃ = f(0,25, 1,182904) = 0,743991

k₄ = f(0,5, 1,371996) = 0,503587

Birleştirin

y₁ = 1 + (0,5/6)(1 + 2·0,731616 + 2·0,743991 + 0,503587) = 1,371

Cevap

y₁ = 1,371

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations