Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

6 °C’deki bir kutu gazoz buzdolabından çıkarılıp 22 °C’deki bir odaya alınıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,1 min⁻¹ ile 16 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.

T₀ = 6 °CT_a = 22 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 16 min

T = °C

2.Diferansiyel denklemlerZor

Bir tankta 200 L saf su var. Litre başına 0,1 kg tuz içeren tuzlu su 10 L/min debiyle giriyor ve iyi karışmış çözelti aynı debiyle çıkıyor. 15 dakika sonra tankta ne kadar tuz m vardır?

V = 200 Lm₀ = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 10 L/min

m = kg

3.İntegrallerOrta

I = ∫₀³ e^−x dx'i hesaplayın.

f(x) = e^−x[0, 3]

I =

4.İntegrallerZor

y = 4 − x² parabolü ile x ekseni arasındaki bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 4 − x²

A =

5.TürevlerOrta

f(x) = ln(x² + 4) olsun. f′(1)'i bulun.

f(x) = ln(x² + 4)x = 1

f′(1) =

6.TürevlerZor

f(x) = x² − x + 5 fonksiyonunun x = −2 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.

f(x) = x² − x + 5x = −2

b =

7.Sayısal yöntemlerOrta

∫₀¹ e^−x² dx integralini n = 6 şeritli yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. T değerini verin.

f(x) = e^−x²[a, b] = [0, 1]n = 6

T =

8.Sayısal yöntemlerZor

y′ = cos t − y, y(0) = −1 için h = 0,1 ile klasik Runge–Kutta yönteminin (RK4) bir adımını atın. y₁ ≈ y(0,1) değerini bulun.

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,1

y₁ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: T = 18,77 °C

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma yasasının çözümü

T(t) = 22 + (−16)·e^−0,1t

t’yi yerine koyun

T(16) = 22 + (−16)·0,2019 = 18,77 °C

Cevap

T = 18,77 °C

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: m = 10,55 kg

Denklemi kurun

dm/dt = 10·0,1 − (10/200)·m = 1 − 0,05·m

Çözün

İntegrasyon çarpanı e^rt/V’dir; çözüm c·V denge değerine yaklaşır.

m(t) = 20 + (−20)·e^−t/20

t’yi yerine koyun

m(15) = 20 + (−20)·0,4724 = 10,55 kg

Cevap

m = 10,55 kg

3.İntegraller

Cevap: I = 0,9502

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

İlkel fonksiyon

F(x) = e^−x/(−1)

Sınırları yerine koyun

I = (e⁻³ − 1)/(−1) = (0,04979 − 1)/(−1) = 0,9502

Cevap

I = 0,9502

4.İntegraller

Cevap: A = 10,67

Sıfırlar

4 − x² = 0 → x = ±2

İntegral alın

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Cevap

A = 10,67

5.Türevler

Cevap: f′(1) = 0,4

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Logaritma için zincir kuralı

f′(x) = 2x/(x² + 4)

Yerine koyun

f′(1) = 2/5 = 0,4

Cevap

f′(1) = 0,4

6.Türevler

Cevap: b = 1

Nokta ve eğim

f(−2) = 11

f′(x) = 2x − 1 → f′(−2) = −5

x = 0'da teğet

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 11 − (−5)·(−2) = 1

Cevap

b = 1

7.Sayısal yöntemler

Cevap: T = 0,7451

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Düğümler ve değerler

h = 0,1667

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,972604 + 2·0,894839 + 2·0,778801 + 2·0,64118 + 2·0,499352 + 0,367879 = 8,941433

Yamuk kuralı

T = (0,1667/2)·8,941433 = 0,7451

Cevap

T = 0,7451

Bu integralin temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ters türevi yoktur; sayısal bir kuralın tam da gerektiği durum budur.

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₁ = −0,8098

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Dört eğim

k₁ = f(0, −1) = 2

k₂ = f(0,05, −0,9) = 1,89875

k₃ = f(0,05, −0,905062) = 1,903813

k₄ = f(0,1, −0,809619) = 1,804623

Birleştirin

y₁ = −1 + (0,1/6)(2 + 2·1,89875 + 2·1,903813 + 1,804623) = −0,8098

Cevap

y₁ = −0,8098

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations