Diferansiyel denklemler
- Üstel büyüme/azalma
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- Yarı ömür
- k = ln 2 / t½
- Newton’un soğuma yasası
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- İntegrasyon çarpanı
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- Karıştırma tankı
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
İntegraller
- Kuvvet kuralı
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Belirli integral
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Temel integraller
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Eğriler arasındaki alan
- ∫ab (f − g) dx
Yöntem
- Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
- Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
- Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
- Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.
Türevler
- Kuvvet kuralı
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Çarpım kuralı
- (uv)′ = u′v + uv′
- Bölüm kuralı
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Zincir kuralı
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Temel türevler
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Yöntem
- Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
- x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
- Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
- Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.
Sayısal yöntemler
- Yarılama yöntemi
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- Newton–Raphson
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- Doğrusal enterpolasyon
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- Yamuk kuralı
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- Simpson kuralı (n çift)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- Yamuk hata sınırı
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- Euler
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- Heun
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Yöntem
- Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
- Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
- Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
- Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.
2Alıştırma soruları
1.Diferansiyel denklemlerOrta
300 °C’deki dövme çelik bir parça 29 °C’deki bir atölyede soğumaya bırakılıyor. 10 dakika sonra sıcaklığı 274 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Başlangıçtan ne kadar süre sonra, t, 284 °C’ye ulaşır?
T0 = 300 °CTa = 29 °CT(10) = 274 °CT = 284 °C
t = min
2.Diferansiyel denklemlerZor
x > 0 için y(1) = −2 koşuluyla y′ + y/x = 3x başlangıç değer problemini çözün. y(3) değerini bulun.
y′ + y/x = 3xy(1) = −2
y(3) =
3.İntegrallerOrta
I = ∫01 2x·(x² + 1)3 dx'i hesaplayın.
f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 1]
I =
4.İntegrallerZor
y = 0,5x2 ve y = 4x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.
y = 0,5x2y = 4x
A =
5.TürevlerOrta
f(x) = (−2x − 3)5 olsun. f′(2)'yi bulun.
f(x) = (−2x − 3)5x = 2
f′(2) =
6.TürevlerZor
f(x) = 3x2 + 4x − 6 fonksiyonunun x = 3 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.
f(x) = 3x2 + 4x − 6x = 3
b =
7.Sayısal yöntemlerOrta
∫01 1/√(1 + x⁴) dx integralini n = 4 şeritli yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. T değerini verin.
f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 4
T =
8.Sayısal yöntemlerZor
y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0 için h = 0,5 ile klasik Runge–Kutta yönteminin (RK4) bir adımını atın. y₁ ≈ y(0,5) değerini bulun.
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,5
y1 =
3Çözeltiler
1.Diferansiyel denklemler
Cevap: t = 6,034 min
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Soğuma sabiti
k = ln(271/245)/10 = 0,01009 min⁻¹
Hedefe ulaşma süresi
t = ln(271/255)/0,01009 = 6,034 min
Cevap
t = 6,034 min
2.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(3) = 8
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
İntegrasyon çarpanı
μ = e∫1/x dx = x1
İntegral alın
(x1y)′ = 3x2 → x1y = 3x3/3 + C
Başlangıç koşulu
−2 = 3/3 + C → C = −3
Hesaplayın
y(3) = (3·33/3 + (−3))/31 = 8
Cevap
y(3) = 8
3.İntegraller
Cevap: I = 3,75
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Değişken değiştirme
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u3 du
İntegral alın ve sınırları koyun
I = [u4/4]12 = (16 − 1)/4 = 3,75
Cevap
I = 3,75
4.İntegraller
Cevap: A = 42,67
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Kesişim noktaları
0,5x2 = 4x → x = 0, x = 8
Üst eksi alt integrali alın
A = [2x2 − 0,1667x3]08 = 42,67
Cevap
A = 42,67
5.Türevler
Cevap: f′(2) = −24010
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Zincir kuralı
f′(x) = 5·(−2x − 3)4·(−2)
Yerine koyun
f′(2) = 5·(−7)4·(−2) = −24010
Cevap
f′(2) = −24010
6.Türevler
Cevap: b = −33
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Nokta ve eğim
f(3) = 33
f′(x) = 6x + 4 → f′(3) = 22
x = 0'da teğet
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 33 − 22·3 = −33
Cevap
b = −33
7.Sayısal yöntemler
Cevap: T = 0,9233
Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.
Düğümler ve değerler
h = 0,25
Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,998053 + 2·0,970143 + 2·0,871576 + 0,707107 = 7,386648
Yamuk kuralı
T = (0,25/2)·7,386648 = 0,9233
Cevap
T = 0,9233
Bu integralin temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ters türevi yoktur; sayısal bir kuralın tam da gerektiği durum budur.
8.Sayısal yöntemler
Cevap: y1 = 0,5434
y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.
Dört eğim
k₁ = f(0, 0) = 1
k₂ = f(0,25, 0,25) = 1,062459
k₃ = f(0,25, 0,265615) = 1,066355
k₄ = f(0,5, 0,533177) = 1,263442
Birleştirin
y₁ = 0 + (0,5/6)(1 + 2·1,062459 + 2·1,066355 + 1,263442) = 0,5434
Cevap
y1 = 0,5434
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations