Sayısal Elektronik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Sayı sistemleri

Basamak değerleri: ikili 2^k, sekizli 8^k, onaltılı 16^k
Onluğa: Σ d_k·b^k
Onluktan: tabana bölün, kalanları aşağıdan yukarı okuyun
Onaltılı ↔ ikili: bir onaltılı basamak = 4 bit
İkiye tümleyen: bitleri ters çevirin ve 1 ekleyin

Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar

Temel kapılar: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Boole kuralları: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Karnaugh haritası sırası: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ hücrelik grup: k değişken kaybeder
4’ten 1’e çoklayıcı: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-floplar: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Sayıcılar: n bit: 2ⁿ durum; mod-N: 2ⁿ ≥ N olan en küçük n; f_çıkış = f_clk/N
Dalgacık (ripple) sayıcı: f_max = 1/(n·t_pd)
Halka ve Johnson sayıcılar: n ve 2n durum

Yöntem

Bir devre için girişlerden çıkışa doğru her seferinde bir kapı olacak şekilde çalışın ve her telin üzerine değeri yazın ya da ifadesini yazıp doğruluk tablosunu doldurun.
Sadeleştirme için 1’leri (ve fark etmez durumlarını X olarak) Gray kodlu satır ve sütunlara, 00, 01, 11, 10, sahip bir Karnaugh haritasına koyun.
1’leri kenarlardan dolanarak 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik olabildiğince az ve olabildiğince büyük gruplarla kapsayın; her grup, sabit kalan değişkenlerden oluşan bir çarpım terimidir. POS biçimi için 0’ları gruplayın.
Flip-floplar ve sayıcılar için girişleri her etkin saat kenarında okuyun, her kenardan sonra durumu yazın ve n bitlik bir sayıcının 2ⁿ durumdan sonra başa sardığını unutmayın.

Veri toplama ve örnekleme

Nyquist ölçütü: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Örtüşme frekansı: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Adım büyüklüğü: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kuantalama hatası (yuvarlama): ±½ LSB
Kesen ADC kodu: D = ⌊V_in/LSB⌋
r çözünürlüğü için bit sayısı: 2ᴺ ≥ span/r
İdeal SQNR, tam ölçekli sinüs: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Veri hızı: kanal × f_s × N bit/s
Çoklayıcılı ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = bayt başına 10 bit; bayt/s = baud/çerçeve başına bit
Baud hızı bölücüsü: baud = f_clk/(16·D)

Yöntem

Verilenleri yazın: örnekleme hızı, sinyal frekansları, bit sayısı, giriş aralığı, baud hızı.
Örnekleme sorularında her frekansı f_s/2 ile karşılaştırın; daha yüksek bir frekans, f_s’nin en yakın katıyla f_a = |f − k·f_s| frekansında görünür.
Çözünürlük sorularında 1 LSB = V_FSR/2ᴺ değerini bulun ya da 2ᴺ ≥ aralık/çözünürlük koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.
Veri hızı ve UART bağlantılarında gönderilen her şeyi sayın: kanalları, saniyedeki örnekleri, örnek başına bitleri ya da tam baytları ve her çerçevenin başlama, eşlik ve durma bitlerini.

2Alıştırma soruları

1.Sayı sistemleriOrta

8 bitlik 1000 0000 dizisi, ikiye tümleyen biçiminde işaretli bir tam sayı saklıyor. Onluk değeri N nedir?

1000 00008 bit

N =

2.Sayı sistemleriZor

Bitleri 0001 0101 AND 0011 1111 işleminin 8 bitlik sonucuna ayarlayın. Sonucun onluk değeri R nedir?

0001 0101AND0011 1111

R =

3.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarOrta

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 7, 11) fonksiyonunun en küçük toplamlar çarpımı (POS) biçimini bulmak için Karnaugh haritasını kullanın. Kaç toplam terimi (çarpan) (N) vardır?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 7, 11)

N =

4.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarZor

Bir 4 bitlik ikilik yukarı sayıcı, 3 (ondalık, Q = 0011) değerinden başlar. 47 saat darbesinden sonra hangi sayıyı, Q, (ondalık olarak) gösterir?

Q₀ = 347n = 4

Q =

5.Veri toplama ve örneklemeOrta

1,6 kHz sinüs dalgası, örtüşme önleyici filtre olmadan 1 kHz ile örnekleniyor. Örneklerde hangi frekansta f_a görünür? Hz cinsinden verin.

f = 1,6 kHzf_s = 1 kHz

f_a = Hz

6.Veri toplama ve örneklemeZor

Bir ses ölçümü, tam ölçekli bir sinüs dalgası için en az 100 dB ideal sinyal-kuantalama gürültüsü oranı gerektiriyor. En küçük ADC bit sayısını N bulun.

SQNR ≥ 100 dB

N =

3Çözeltiler

1.Sayı sistemleri

Cevap: N = −128

Konumsal sayı sistemleri: her basamak, değeri çarpı tabanın bir kuvveti kadar değerlidir. İkilik sistemde basamaklar 1, 2, 4, 8, 16, …; onaltılık sistemde 1, 16, 256, … değerindedir ve A–F, 10–15'i gösterir. 8 bitlik ikiye tümleyende en soldaki bit +128 yerine −128 değerindedir; negatif sayılar böyle saklanır.

Değerleri toplayın

Diğer bitler normal pozitif değerlerini korur.

−128 = −128

Cevap

N = −128

2.Sayı sistemleri

Cevap: R = 21

Bitleri ayarlamak: her bit ikinin bir kuvveti değerindedir (128, 64, …, 1). Bir onaltılık basamak tam olarak dört bittir ve 8 bitlik ikiye tümleyende en soldaki bit −128 değerindedir. Bit işlemleri her bit konumunda ayrı ayrı çalışır.

Bit bit

AND yalnızca iki bit de 1 olduğunda 1 verir.

0001 0101

AND 0011 1111

= 0001 0101

Sonucun değeri

0001 0101₂ = 21

Cevap

R = 21

3.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar

Cevap: N = 4

Karnaugh haritaları: hücreler Gray koduyla (00, 01, 11, 10) sıralanır; bu yüzden komşu hücreler, kenarların karşısındakiler dahil, tam olarak tek değişkende farklılaşır. 1’leri 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik dikdörtgenler içinde, olabildiğince büyük ve olabildiğince az sayıda gruplayın; her 1 kapsanana kadar. Her grup bir çarpım terimidir: grubun içinde sabit kalan değişkenler. 2ᵏ hücrelik bir grup k değişken kaybeder. Fark etmez durumları (X) grupları büyütmek için kullanılabilir ama kapsanmaları gerekmez. 0’ları gruplamak en küçük POS biçimini verir.

0’ları gruplayın

Her grup 2ᵏ hücrelik bir dikdörtgendir; kenardaki hücreler karşı kenardaki hücrelerin komşusudur.

(C′ + D)

(B′ + C)

(A′ + C)

(A′ + B′)

En küçük POS biçimi

F = (C′ + D)(B′ + C)(A′ + C)(A′ + B′)

N = 4

Cevap

N = 4

4.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar

Cevap: Q = 2

Flip-floplar ve sayıcılar: bir flip-flop yalnızca saatin etkin kenarında değişir. D girişini kopyalar (Q⁺ = D); T, T = 1 iken tersler; JK, 00 için tutar, 01 için sıfırlar, 10 için kurar, 11 için tersler. n bitlik bir ikilik sayıcının 2ⁿ durumu vardır ve 2ⁿ modunda sayar; mod-N sayıcı 0, 1, …, N − 1 sayıp 0’a döner ve 2ⁿ ≥ N olan en küçük n kadar flip-flop gerektirir. Bir dalgacık (ripple) sayıcının her aşaması frekansı yarıya indirir; bu yüzden mod-N sayıcının son çıkışı f_clk/N ile çalışır. n flip-flopluk bir Johnson sayıcının 2n durumu, bir halka sayıcının n durumu vardır.

Tam çevrimler

Her 16 darbe sayıcıyı aynı duruma geri getirir.

47 = 2·16 + 15

Kalan darbelerden sonraki sayı

Q = (3 + 15) mod 16 = 2

Q = 0010₂

Cevap

Q = 2

5.Veri toplama ve örnekleme

Cevap: f_a = 400 Hz

Örnekleme: bir ADC sinyali saniyede f_s kez ölçer. Nyquist–Shannon teoremine göre bir f frekansı ancak f < f_s/2 olduğu sürece doğru yakalanır; bu sınır Nyquist (katlanma) frekansıdır. Bu yüzden örnekleme hızı, en yüksek sinyal frekansının iki katını aşmalıdır. Daha yüksek bir frekans kaybolmaz: sonucu 0 ile f_s/2 arasına getiren k tam sayısıyla f_a = |f − k·f_s| frekansında bir örtüşme (alias) olarak görünür. Örnekler ikisini ayırt edemez; bu yüzden ADC’den önce bir analog örtüşme önleyici filtre, f_s/2’nin üzerindeki her şeyi kaldırmalıdır.

Nyquist frekansı

f_s/2 = 500 Hz < f = 1,6 kHz

Örnekleme hızının en yakın katı

k = round(1600/1000) = 2

Örtüşme frekansı

f_a = |1600 − 2·1000| = 400 Hz

Cevap

f_a = 400 Hz

Şekildeki kesikli eğri örtüşmedir: tamamen aynı örneklerden geçer.

6.Veri toplama ve örnekleme

Cevap: N = 17

ADC çözünürlüğü: N bitlik bir dönüştürücü, tam ölçek aralığı V_FSR’yi 0’dan 2ᴺ − 1’e kadar 2ᴺ koda böler. Bir adım 1 LSB = V_FSR/2ᴺ’dir: dönüştürücünün gösterebildiği en küçük değişim. Kesen bir ADC ⌊V_in/LSB⌋ kodunu verir; yuvarlayan bir ADC gerçek değerden hiçbir zaman ½ LSB’den fazla uzak olmaz, bu onun kuantalama hatasıdır. Her ek bit LSB’yi yarıya indirir ve tam ölçekli bir sinüs için ideal sinyal-kuantalama gürültüsü oranına SQNR = 6,02·N + 1,76 dB yaklaşık 6 dB ekler. Bir aralık üzerinde r çözünürlüğüne ulaşmak için 2ᴺ ≥ aralık/r koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.

N için çözün

N ≥ (100 − 1,76)/6,02 = 16,32

Yukarı yuvarlayın

N = 17

kontrol: 6,02·17 + 1,76 = 104,1 dB ≥ 100 dB

Cevap

N = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics