Sayı sistemleri
- Basamak değerleri
- ikili 2k, sekizli 8k, onaltılı 16k
- Onluğa
- Σ dk·bk
- Onluktan
- tabana bölün, kalanları aşağıdan yukarı okuyun
- Onaltılı ↔ ikili
- bir onaltılı basamak = 4 bit
- İkiye tümleyen
- bitleri ters çevirin ve 1 ekleyin
Sayısal Elektronik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
- Temel kapılar
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- Boole kuralları
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- De Morgan
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- Karnaugh haritası sırası
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ hücrelik grup
- k değişken kaybeder
- 4’ten 1’e çoklayıcı
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- Flip-floplar
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- Sayıcılar
- n bit: 2ⁿ durum; mod-N: 2ⁿ ≥ N olan en küçük n; fçıkış = fclk/N
- Dalgacık (ripple) sayıcı
- fmax = 1/(n·tpd)
- Halka ve Johnson sayıcılar
- n ve 2n durum
Yöntem
- Bir devre için girişlerden çıkışa doğru her seferinde bir kapı olacak şekilde çalışın ve her telin üzerine değeri yazın ya da ifadesini yazıp doğruluk tablosunu doldurun.
- Sadeleştirme için 1’leri (ve fark etmez durumlarını X olarak) Gray kodlu satır ve sütunlara, 00, 01, 11, 10, sahip bir Karnaugh haritasına koyun.
- 1’leri kenarlardan dolanarak 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik olabildiğince az ve olabildiğince büyük gruplarla kapsayın; her grup, sabit kalan değişkenlerden oluşan bir çarpım terimidir. POS biçimi için 0’ları gruplayın.
- Flip-floplar ve sayıcılar için girişleri her etkin saat kenarında okuyun, her kenardan sonra durumu yazın ve n bitlik bir sayıcının 2ⁿ durumdan sonra başa sardığını unutmayın.
Veri toplama ve örnekleme
- Nyquist ölçütü
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- Örtüşme frekansı
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- Adım büyüklüğü
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- Kuantalama hatası (yuvarlama)
- ±½ LSB
- Kesen ADC kodu
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- r çözünürlüğü için bit sayısı
- 2ᴺ ≥ span/r
- İdeal SQNR, tam ölçekli sinüs
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- Veri hızı
- kanal × fs × N bit/s
- Çoklayıcılı ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = bayt başına 10 bit; bayt/s = baud/çerçeve başına bit
- Baud hızı bölücüsü
- baud = fclk/(16·D)
Yöntem
- Verilenleri yazın: örnekleme hızı, sinyal frekansları, bit sayısı, giriş aralığı, baud hızı.
- Örnekleme sorularında her frekansı fs/2 ile karşılaştırın; daha yüksek bir frekans, fs’nin en yakın katıyla fa = |f − k·fs| frekansında görünür.
- Çözünürlük sorularında 1 LSB = VFSR/2ᴺ değerini bulun ya da 2ᴺ ≥ aralık/çözünürlük koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.
- Veri hızı ve UART bağlantılarında gönderilen her şeyi sayın: kanalları, saniyedeki örnekleri, örnek başına bitleri ya da tam baytları ve her çerçevenin başlama, eşlik ve durma bitlerini.
2Alıştırma soruları
1.Sayı sistemleriOrta
Bitleri, 8 bitlik ikiye tümleyende −80 saklayacak şekilde ayarlayın. İşaretsiz bir sayı olarak okunduğunda desenin değeri U nedir?
N = −808 bit
U =
2.Sayı sistemleriZor
Bitleri 0010 1100 OR 0111 0001 işleminin 8 bitlik sonucuna ayarlayın. Sonucun onluk değeri R nedir?
0010 1100OR0111 0001
R =
3.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarOrta
F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 4, 7) fonksiyonunun en küçük toplamlar çarpımı (POS) biçimini bulmak için Karnaugh haritasını kullanın. Kaç toplam terimi (çarpan) (N) vardır?
F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 4, 7)
N =
4.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarZor
F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 6, 7, 12) + d(10, 14) fonksiyonunun en küçük SOP biçimini bulun; d fark etmez (don’t-care) durumlarını gösterir. Kaç literal (L) içerir?
F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 6, 7, 12) + d(10, 14)
L =
5.Veri toplama ve örneklemeOrta
Bir UART baytları 4800 baud ile 8E2 biçiminde gönderiyor: 8 veri biti, bir çift eşlik biti ve 2 durma biti, bir de başlama biti. Saniyede aktarabileceği en fazla veri baytı sayısını bulun.
baud = 4800 Bd8E2
RB = B/s
6.Veri toplama ve örneklemeZor
10 bitlik bir ADC her örneği 19200 baud ile, 8E1 biçiminde (başlama biti, 8 veri biti, çift eşlik, 1 durma biti) bir UART üzerinden akıtıyor. Her örnek 2 tam bayt olarak gönderiliyor ve bağlantı her an meşgul. Örtüşme olmadan örneklenebilecek en yüksek sinyal frekansını fmax Hz cinsinden bulun.
baud = 19200 BdN = 108E1
fmax = Hz
3Çözeltiler
1.Sayı sistemleri
Cevap: U = 176
Bitleri ayarlamak: her bit ikinin bir kuvveti değerindedir (128, 64, …, 1). Bir onaltılık basamak tam olarak dört bittir ve 8 bitlik ikiye tümleyende en soldaki bit −128 değerindedir. Bit işlemleri her bit konumunda ayrı ayrı çalışır.
Tersine çevirin ve bir ekleyin
80 = 0101 0000
tersine çevrilmiş: 1010 1111
+1 → 1011 0000
İşaretsiz okuyun
1011 0000₂ = 256 − 80 = 176
Cevap
U = 176
2.Sayı sistemleri
Cevap: R = 125
Bitleri ayarlamak: her bit ikinin bir kuvveti değerindedir (128, 64, …, 1). Bir onaltılık basamak tam olarak dört bittir ve 8 bitlik ikiye tümleyende en soldaki bit −128 değerindedir. Bit işlemleri her bit konumunda ayrı ayrı çalışır.
Bit bit
OR en az bir bit 1 olduğunda 1 verir.
0010 1100
OR 0111 0001
= 0111 1101
Sonucun değeri
0111 1101₂ = 125
Cevap
R = 125
3.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
Cevap: N = 3
Karnaugh haritaları: hücreler Gray koduyla (00, 01, 11, 10) sıralanır; bu yüzden komşu hücreler, kenarların karşısındakiler dahil, tam olarak tek değişkende farklılaşır. 1’leri 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik dikdörtgenler içinde, olabildiğince büyük ve olabildiğince az sayıda gruplayın; her 1 kapsanana kadar. Her grup bir çarpım terimidir: grubun içinde sabit kalan değişkenler. 2ᵏ hücrelik bir grup k değişken kaybeder. Fark etmez durumları (X) grupları büyütmek için kullanılabilir ama kapsanmaları gerekmez. 0’ları gruplamak en küçük POS biçimini verir.
0’ları gruplayın
Her grup 2ᵏ hücrelik bir dikdörtgendir; kenardaki hücreler karşı kenardaki hücrelerin komşusudur.
(A + B′ + C′)
(A′ + B + C′)
(A′ + B′ + C)
En küçük POS biçimi
F = (A + B′ + C′)(A′ + B + C′)(A′ + B′ + C)
N = 3
Cevap
N = 3
4.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
Cevap: L = 9
Karnaugh haritaları: hücreler Gray koduyla (00, 01, 11, 10) sıralanır; bu yüzden komşu hücreler, kenarların karşısındakiler dahil, tam olarak tek değişkende farklılaşır. 1’leri 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik dikdörtgenler içinde, olabildiğince büyük ve olabildiğince az sayıda gruplayın; her 1 kapsanana kadar. Her grup bir çarpım terimidir: grubun içinde sabit kalan değişkenler. 2ᵏ hücrelik bir grup k değişken kaybeder. Fark etmez durumları (X) grupları büyütmek için kullanılabilir ama kapsanmaları gerekmez. 0’ları gruplamak en küçük POS biçimini verir.
Asal implikantlar
1’lerden ve X’lerden oluşturulabilen en büyük gruplar.
BD′, A′BC, A′B′C′D
En küçük kapsama
F = BD′ + A′BC + A′B′C′D
L = 9
Cevap
L = 9
5.Veri toplama ve örnekleme
Cevap: RB = 400 B/s
UART: asenkron bir seri bağlantı her baytı bir çerçeve olarak gönderir: bir başlama biti (düşük), veri bitleri, isteğe bağlı bir eşlik biti ve bir ya da iki durma biti (yüksek). Baud hızı saniyedeki bit sayısıdır; yani bir bit Tb = 1/baud sürer ve n bitlik bir çerçeve n/baud sürer. Yaygın 8N1 biçiminde bayt başına 10 bit vardır. Baud üreteci saat frekansını böler: baud = fclk/(16·D), D bir tam sayıdır; bu yüzden gerçek baud hızı hedeften biraz farklıdır, yaklaşık %2’nin altındaki bir hata genellikle kabul edilebilir.
Çerçeve başına bit
1 + 8 + 1 + 2 = 12
Bayt hızı
4800/12 = 400 B/s
Cevap
RB = 400 B/s
6.Veri toplama ve örnekleme
Cevap: fmax = 436,4 Hz
UART: asenkron bir seri bağlantı her baytı bir çerçeve olarak gönderir: bir başlama biti (düşük), veri bitleri, isteğe bağlı bir eşlik biti ve bir ya da iki durma biti (yüksek). Baud hızı saniyedeki bit sayısıdır; yani bir bit Tb = 1/baud sürer ve n bitlik bir çerçeve n/baud sürer. Yaygın 8N1 biçiminde bayt başına 10 bit vardır. Baud üreteci saat frekansını böler: baud = fclk/(16·D), D bir tam sayıdır; bu yüzden gerçek baud hızı hedeften biraz farklıdır, yaklaşık %2’nin altındaki bir hata genellikle kabul edilebilir.
Hatta örnek başına bit
2·11 = 22 bit
En yüksek örnekleme hızı
fs,max = 19200/22 = 872,7 Hz
Nyquist sınırı
fmax = 872,7/2 = 436,4 Hz
Cevap
fmax = 436,4 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics