Sayı sistemleri
- Basamak değerleri
- ikili 2k, sekizli 8k, onaltılı 16k
- Onluğa
- Σ dk·bk
- Onluktan
- tabana bölün, kalanları aşağıdan yukarı okuyun
- Onaltılı ↔ ikili
- bir onaltılı basamak = 4 bit
- İkiye tümleyen
- bitleri ters çevirin ve 1 ekleyin
Sayısal Elektronik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
- Temel kapılar
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- Boole kuralları
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- De Morgan
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- Karnaugh haritası sırası
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ hücrelik grup
- k değişken kaybeder
- 4’ten 1’e çoklayıcı
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- Flip-floplar
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- Sayıcılar
- n bit: 2ⁿ durum; mod-N: 2ⁿ ≥ N olan en küçük n; fçıkış = fclk/N
- Dalgacık (ripple) sayıcı
- fmax = 1/(n·tpd)
- Halka ve Johnson sayıcılar
- n ve 2n durum
Yöntem
- Bir devre için girişlerden çıkışa doğru her seferinde bir kapı olacak şekilde çalışın ve her telin üzerine değeri yazın ya da ifadesini yazıp doğruluk tablosunu doldurun.
- Sadeleştirme için 1’leri (ve fark etmez durumlarını X olarak) Gray kodlu satır ve sütunlara, 00, 01, 11, 10, sahip bir Karnaugh haritasına koyun.
- 1’leri kenarlardan dolanarak 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik olabildiğince az ve olabildiğince büyük gruplarla kapsayın; her grup, sabit kalan değişkenlerden oluşan bir çarpım terimidir. POS biçimi için 0’ları gruplayın.
- Flip-floplar ve sayıcılar için girişleri her etkin saat kenarında okuyun, her kenardan sonra durumu yazın ve n bitlik bir sayıcının 2ⁿ durumdan sonra başa sardığını unutmayın.
Veri toplama ve örnekleme
- Nyquist ölçütü
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- Örtüşme frekansı
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- Adım büyüklüğü
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- Kuantalama hatası (yuvarlama)
- ±½ LSB
- Kesen ADC kodu
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- r çözünürlüğü için bit sayısı
- 2ᴺ ≥ span/r
- İdeal SQNR, tam ölçekli sinüs
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- Veri hızı
- kanal × fs × N bit/s
- Çoklayıcılı ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = bayt başına 10 bit; bayt/s = baud/çerçeve başına bit
- Baud hızı bölücüsü
- baud = fclk/(16·D)
Yöntem
- Verilenleri yazın: örnekleme hızı, sinyal frekansları, bit sayısı, giriş aralığı, baud hızı.
- Örnekleme sorularında her frekansı fs/2 ile karşılaştırın; daha yüksek bir frekans, fs’nin en yakın katıyla fa = |f − k·fs| frekansında görünür.
- Çözünürlük sorularında 1 LSB = VFSR/2ᴺ değerini bulun ya da 2ᴺ ≥ aralık/çözünürlük koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.
- Veri hızı ve UART bağlantılarında gönderilen her şeyi sayın: kanalları, saniyedeki örnekleri, örnek başına bitleri ya da tam baytları ve her çerçevenin başlama, eşlik ve durma bitlerini.
2Alıştırma soruları
1.Sayı sistemleriOrta
8 bitlik 1111 1110 dizisi, ikiye tümleyen biçiminde işaretli bir tam sayı saklıyor. Onluk değeri N nedir?
1111 11108 bit
N =
2.Sayı sistemleriZor
12 bite sığan en büyük işaretsiz tam sayı N nedir?
12 bit
N =
3.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarOrta
F(A, B, C) = Σm(0, 1, 6) fonksiyonunun en küçük çarpımlar toplamı (SOP) biçimini bulmak için Karnaugh haritasını kullanın. Toplamda kaç literal (L) içerir (üzerinde işaret olan bir değişken bir literal sayılır)?
F(A, B, C) = Σm(0, 1, 6)
L =
4.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarZor
d fark etmez (don’t-care) durumlarını gösterirken F(A, B, C, D) = Σm(4, 8, 9, 11) + d(3, 12, 15) fonksiyonu için temel asal implikantların sayısını, N, bulun.
F(A, B, C, D) = Σm(4, 8, 9, 11) + d(3, 12, 15)
N =
5.Veri toplama ve örneklemeOrta
7,2 kHz sinüs dalgası, örtüşme önleyici filtre olmadan 8 kHz ile örnekleniyor. Örneklerde hangi frekansta fa görünür? Hz cinsinden verin.
f = 7,2 kHzfs = 8 kHz
fa = Hz
6.Veri toplama ve örneklemeZor
16 kanallı bir çoklayıcı tek bir ADC’yi besliyor. Her dönüşüm 2,5 µs sürüyor ve her kanal geçişinden sonra girişin oturması için 5 µs gerekiyor. Kanallar ara vermeden sırayla taranıyor. Her kanalın örnekleme hızını fs kHz cinsinden bulun.
n = 16tc = 2,5 µstset = 5 µs
fs = kHz
3Çözeltiler
1.Sayı sistemleri
Cevap: N = −2
Konumsal sayı sistemleri: her basamak, değeri çarpı tabanın bir kuvveti kadar değerlidir. İkilik sistemde basamaklar 1, 2, 4, 8, 16, …; onaltılık sistemde 1, 16, 256, … değerindedir ve A–F, 10–15'i gösterir. 8 bitlik ikiye tümleyende en soldaki bit +128 yerine −128 değerindedir; negatif sayılar böyle saklanır.
Değerleri toplayın
Diğer bitler normal pozitif değerlerini korur.
−128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = −2
Cevap
N = −2
2.Sayı sistemleri
Cevap: N = 4095
Konumsal sayı sistemleri: her basamak, değeri çarpı tabanın bir kuvveti kadar değerlidir. İkilik sistemde basamaklar 1, 2, 4, 8, 16, …; onaltılık sistemde 1, 16, 256, … değerindedir ve A–F, 10–15'i gösterir. 8 bitlik ikiye tümleyende en soldaki bit +128 yerine −128 değerindedir; negatif sayılar böyle saklanır.
En büyük değer
212 − 1 = 4095
Cevap
N = 4095
3.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
Cevap: L = 5
Karnaugh haritaları: hücreler Gray koduyla (00, 01, 11, 10) sıralanır; bu yüzden komşu hücreler, kenarların karşısındakiler dahil, tam olarak tek değişkende farklılaşır. 1’leri 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik dikdörtgenler içinde, olabildiğince büyük ve olabildiğince az sayıda gruplayın; her 1 kapsanana kadar. Her grup bir çarpım terimidir: grubun içinde sabit kalan değişkenler. 2ᵏ hücrelik bir grup k değişken kaybeder. Fark etmez durumları (X) grupları büyütmek için kullanılabilir ama kapsanmaları gerekmez. 0’ları gruplamak en küçük POS biçimini verir.
1’leri gruplayın
Her grup 2ᵏ hücrelik bir dikdörtgendir; kenardaki hücreler karşı kenardaki hücrelerin komşusudur.
A′B′
ABC′
En küçük SOP biçimi
F = A′B′ + ABC′
L = 5
Cevap
L = 5
4.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
Cevap: N = 1
Karnaugh haritaları: hücreler Gray koduyla (00, 01, 11, 10) sıralanır; bu yüzden komşu hücreler, kenarların karşısındakiler dahil, tam olarak tek değişkende farklılaşır. 1’leri 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik dikdörtgenler içinde, olabildiğince büyük ve olabildiğince az sayıda gruplayın; her 1 kapsanana kadar. Her grup bir çarpım terimidir: grubun içinde sabit kalan değişkenler. 2ᵏ hücrelik bir grup k değişken kaybeder. Fark etmez durumları (X) grupları büyütmek için kullanılabilir ama kapsanmaları gerekmez. 0’ları gruplamak en küçük POS biçimini verir.
Asal implikantlar
1’lerden ve X’lerden oluşturulabilen en büyük gruplar.
B′CD, BC′D′, AC′D′, ACD, AB′D, AB′C′
Temel asal implikantlar
BC′D′
N = 1
Cevap
N = 1
5.Veri toplama ve örnekleme
Cevap: fa = 800 Hz
Örnekleme: bir ADC sinyali saniyede fs kez ölçer. Nyquist–Shannon teoremine göre bir f frekansı ancak f < fs/2 olduğu sürece doğru yakalanır; bu sınır Nyquist (katlanma) frekansıdır. Bu yüzden örnekleme hızı, en yüksek sinyal frekansının iki katını aşmalıdır. Daha yüksek bir frekans kaybolmaz: sonucu 0 ile fs/2 arasına getiren k tam sayısıyla fa = |f − k·fs| frekansında bir örtüşme (alias) olarak görünür. Örnekler ikisini ayırt edemez; bu yüzden ADC’den önce bir analog örtüşme önleyici filtre, fs/2’nin üzerindeki her şeyi kaldırmalıdır.
Nyquist frekansı
fs/2 = 4 kHz < f = 7,2 kHz
Örnekleme hızının en yakın katı
k = round(7200/8000) = 1
Örtüşme frekansı
fa = |7200 − 1·8000| = 800 Hz
Cevap
fa = 800 Hz
Şekildeki kesikli eğri örtüşmedir: tamamen aynı örneklerden geçer.
6.Veri toplama ve örnekleme
Cevap: fs = 8,333 kHz
Veri hızları: her kanal saniyede N bitlik fs örnek verir; ham hız kanal × fs × N bit/s’dir. Bellekte bir örnek tam bayt yer kaplar (12 bitlik bir örnek 2 bayta kaydedilir), bu yüzden bir kayıt için bellek kanal × fs × örnek başına bayt × süre kadardır. Çoklayıcılı bir ADC kanalları art arda dönüştürür: her dönüşüm (oturma süresiyle birlikte) t sürer, dolayısıyla n kanallık bir tur n·t sürer ve her kanal 1/(n·t) hızıyla örneklenir.
Kanal başına süre
2,5 + 5 = 7,5 µs
Tarama başına süre
16·7,5 = 120 µs
Kanal başına örnekleme hızı
fs = 1/120 µs = 8,333 kHz
Cevap
fs = 8,333 kHz
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics