Sayı sistemleri
- Basamak değerleri
- ikili 2k, sekizli 8k, onaltılı 16k
- Onluğa
- Σ dk·bk
- Onluktan
- tabana bölün, kalanları aşağıdan yukarı okuyun
- Onaltılı ↔ ikili
- bir onaltılı basamak = 4 bit
- İkiye tümleyen
- bitleri ters çevirin ve 1 ekleyin
Sayısal Elektronik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
- Temel kapılar
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- Boole kuralları
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- De Morgan
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- Karnaugh haritası sırası
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ hücrelik grup
- k değişken kaybeder
- 4’ten 1’e çoklayıcı
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- Flip-floplar
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- Sayıcılar
- n bit: 2ⁿ durum; mod-N: 2ⁿ ≥ N olan en küçük n; fçıkış = fclk/N
- Dalgacık (ripple) sayıcı
- fmax = 1/(n·tpd)
- Halka ve Johnson sayıcılar
- n ve 2n durum
Yöntem
- Bir devre için girişlerden çıkışa doğru her seferinde bir kapı olacak şekilde çalışın ve her telin üzerine değeri yazın ya da ifadesini yazıp doğruluk tablosunu doldurun.
- Sadeleştirme için 1’leri (ve fark etmez durumlarını X olarak) Gray kodlu satır ve sütunlara, 00, 01, 11, 10, sahip bir Karnaugh haritasına koyun.
- 1’leri kenarlardan dolanarak 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik olabildiğince az ve olabildiğince büyük gruplarla kapsayın; her grup, sabit kalan değişkenlerden oluşan bir çarpım terimidir. POS biçimi için 0’ları gruplayın.
- Flip-floplar ve sayıcılar için girişleri her etkin saat kenarında okuyun, her kenardan sonra durumu yazın ve n bitlik bir sayıcının 2ⁿ durumdan sonra başa sardığını unutmayın.
Veri toplama ve örnekleme
- Nyquist ölçütü
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- Örtüşme frekansı
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- Adım büyüklüğü
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- Kuantalama hatası (yuvarlama)
- ±½ LSB
- Kesen ADC kodu
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- r çözünürlüğü için bit sayısı
- 2ᴺ ≥ span/r
- İdeal SQNR, tam ölçekli sinüs
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- Veri hızı
- kanal × fs × N bit/s
- Çoklayıcılı ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = bayt başına 10 bit; bayt/s = baud/çerçeve başına bit
- Baud hızı bölücüsü
- baud = fclk/(16·D)
Yöntem
- Verilenleri yazın: örnekleme hızı, sinyal frekansları, bit sayısı, giriş aralığı, baud hızı.
- Örnekleme sorularında her frekansı fs/2 ile karşılaştırın; daha yüksek bir frekans, fs’nin en yakın katıyla fa = |f − k·fs| frekansında görünür.
- Çözünürlük sorularında 1 LSB = VFSR/2ᴺ değerini bulun ya da 2ᴺ ≥ aralık/çözünürlük koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.
- Veri hızı ve UART bağlantılarında gönderilen her şeyi sayın: kanalları, saniyedeki örnekleri, örnek başına bitleri ya da tam baytları ve her çerçevenin başlama, eşlik ve durma bitlerini.
2Alıştırma soruları
1.Sayı sistemleriOrta
−5 sayısını 8 bitlik ikiye tümleyen dizisi olarak yazın. Diziyi işaretsiz ikilik sayı olarak okuyun: onluk değeri U nedir?
N = −58 bit
U =
2.Sayı sistemleriZor
Bitleri 1111 0011 << 2 işleminin 8 bitlik sonucuna ayarlayın. Sonucun onluk değeri R nedir?
1111 0011<< 2
R =
3.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarOrta
F(A, B, C, D) = Σm(6, 7, 9, 12) fonksiyonunun en küçük toplamlar çarpımı (POS) biçimini bulmak için Karnaugh haritasını kullanın. Kaç toplam terimi (çarpan) (N) vardır?
F(A, B, C, D) = Σm(6, 7, 9, 12)
N =
4.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarZor
F(A, B, C, D) = Σm(5, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15) + d(0, 7) fonksiyonunun en küçük SOP biçimini bulun; d fark etmez (don’t-care) durumlarını gösterir. Kaç literal (L) içerir?
F(A, B, C, D) = Σm(5, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15) + d(0, 7)
L =
5.Veri toplama ve örneklemeOrta
Giriş aralığı 0 ile 10 V arasında olan 8 bitlik bir ADC keser: çıkış kodu, 1 LSB = VFSR/2ᴺ olmak üzere ⌊Vin/LSB⌋’dir. 9,108 V’luk bir giriş için onlu sistemdeki çıkış kodunu D bulun.
N = 8VFSR = 10 VVin = 9,108 V
D =
6.Veri toplama ve örneklemeZor
Bir ses ölçümü, tam ölçekli bir sinüs dalgası için en az 40 dB ideal sinyal-kuantalama gürültüsü oranı gerektiriyor. En küçük ADC bit sayısını N bulun.
SQNR ≥ 40 dB
N =
3Çözeltiler
1.Sayı sistemleri
Cevap: U = 251
Konumsal sayı sistemleri: her basamak, değeri çarpı tabanın bir kuvveti kadar değerlidir. İkilik sistemde basamaklar 1, 2, 4, 8, 16, …; onaltılık sistemde 1, 16, 256, … değerindedir ve A–F, 10–15'i gösterir. 8 bitlik ikiye tümleyende en soldaki bit +128 yerine −128 değerindedir; negatif sayılar böyle saklanır.
Tersine çevirin ve bir ekleyin
5 = 0000 0101
tersine çevrilmiş: 1111 1010
+1 → 1111 1011
İşaretsiz okuyun
1111 1011₂ = 256 − 5 = 251
Cevap
U = 251
2.Sayı sistemleri
Cevap: R = 204
Bitleri ayarlamak: her bit ikinin bir kuvveti değerindedir (128, 64, …, 1). Bir onaltılık basamak tam olarak dört bittir ve 8 bitlik ikiye tümleyende en soldaki bit −128 değerindedir. Bit işlemleri her bit konumunda ayrı ayrı çalışır.
Bit bit
2 kadar sola kaydırmak her biti 2 basamak sola taşır; sol uçtan düşen bitler kaybolur ve sağdan sıfırlar girer.
1111 0011 << 2
= 1100 1100
Sonucun değeri
1100 1100₂ = 204
Cevap
R = 204
3.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
Cevap: N = 5
Karnaugh haritaları: hücreler Gray koduyla (00, 01, 11, 10) sıralanır; bu yüzden komşu hücreler, kenarların karşısındakiler dahil, tam olarak tek değişkende farklılaşır. 1’leri 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik dikdörtgenler içinde, olabildiğince büyük ve olabildiğince az sayıda gruplayın; her 1 kapsanana kadar. Her grup bir çarpım terimidir: grubun içinde sabit kalan değişkenler. 2ᵏ hücrelik bir grup k değişken kaybeder. Fark etmez durumları (X) grupları büyütmek için kullanılabilir ama kapsanmaları gerekmez. 0’ları gruplamak en küçük POS biçimini verir.
0’ları gruplayın
Her grup 2ᵏ hücrelik bir dikdörtgendir; kenardaki hücreler karşı kenardaki hücrelerin komşusudur.
(B + D)
(B + C′)
(B′ + C + D′)
(A + C)
(A′ + C′)
En küçük POS biçimi
F = (B + D)(B + C′)(B′ + C + D′)(A + C)(A′ + C′)
N = 5
Cevap
N = 5
Aynı büyüklükte başka bir gruplama da vardır; terim ve literal sayısı aynıdır.
4.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
Cevap: L = 8
Karnaugh haritaları: hücreler Gray koduyla (00, 01, 11, 10) sıralanır; bu yüzden komşu hücreler, kenarların karşısındakiler dahil, tam olarak tek değişkende farklılaşır. 1’leri 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik dikdörtgenler içinde, olabildiğince büyük ve olabildiğince az sayıda gruplayın; her 1 kapsanana kadar. Her grup bir çarpım terimidir: grubun içinde sabit kalan değişkenler. 2ᵏ hücrelik bir grup k değişken kaybeder. Fark etmez durumları (X) grupları büyütmek için kullanılabilir ama kapsanmaları gerekmez. 0’ları gruplamak en küçük POS biçimini verir.
Asal implikantlar
1’lerden ve X’lerden oluşturulabilen en büyük gruplar.
BD, B′C′D′, AD, AC′, AB
En küçük kapsama
F = BD + AD + AC′ + AB
L = 8
Cevap
L = 8
5.Veri toplama ve örnekleme
Cevap: D = 233
ADC çözünürlüğü: N bitlik bir dönüştürücü, tam ölçek aralığı VFSR’yi 0’dan 2ᴺ − 1’e kadar 2ᴺ koda böler. Bir adım 1 LSB = VFSR/2ᴺ’dir: dönüştürücünün gösterebildiği en küçük değişim. Kesen bir ADC ⌊Vin/LSB⌋ kodunu verir; yuvarlayan bir ADC gerçek değerden hiçbir zaman ½ LSB’den fazla uzak olmaz, bu onun kuantalama hatasıdır. Her ek bit LSB’yi yarıya indirir ve tam ölçekli bir sinüs için ideal sinyal-kuantalama gürültüsü oranına SQNR = 6,02·N + 1,76 dB yaklaşık 6 dB ekler. Bir aralık üzerinde r çözünürlüğüne ulaşmak için 2ᴺ ≥ aralık/r koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.
Adım büyüklüğü
1 LSB = 10/28 = 39,06 mV
Kod
Vin/LSB = 9108/39,06 = 233,2
kod = ⌊233,2⌋ = 233
Cevap
D = 233
İkili sistemde bu 11101001’dır.
6.Veri toplama ve örnekleme
Cevap: N = 7
ADC çözünürlüğü: N bitlik bir dönüştürücü, tam ölçek aralığı VFSR’yi 0’dan 2ᴺ − 1’e kadar 2ᴺ koda böler. Bir adım 1 LSB = VFSR/2ᴺ’dir: dönüştürücünün gösterebildiği en küçük değişim. Kesen bir ADC ⌊Vin/LSB⌋ kodunu verir; yuvarlayan bir ADC gerçek değerden hiçbir zaman ½ LSB’den fazla uzak olmaz, bu onun kuantalama hatasıdır. Her ek bit LSB’yi yarıya indirir ve tam ölçekli bir sinüs için ideal sinyal-kuantalama gürültüsü oranına SQNR = 6,02·N + 1,76 dB yaklaşık 6 dB ekler. Bir aralık üzerinde r çözünürlüğüne ulaşmak için 2ᴺ ≥ aralık/r koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.
N için çözün
N ≥ (40 − 1,76)/6,02 = 6,352
Yukarı yuvarlayın
N = 7
kontrol: 6,02·7 + 1,76 = 43,9 dB ≥ 40 dB
Cevap
N = 7
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics