Sayı sistemleri
- Basamak değerleri
- ikili 2k, sekizli 8k, onaltılı 16k
- Onluğa
- Σ dk·bk
- Onluktan
- tabana bölün, kalanları aşağıdan yukarı okuyun
- Onaltılı ↔ ikili
- bir onaltılı basamak = 4 bit
- İkiye tümleyen
- bitleri ters çevirin ve 1 ekleyin
Sayısal Elektronik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
- Temel kapılar
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- Boole kuralları
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- De Morgan
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- Karnaugh haritası sırası
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ hücrelik grup
- k değişken kaybeder
- 4’ten 1’e çoklayıcı
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- Flip-floplar
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- Sayıcılar
- n bit: 2ⁿ durum; mod-N: 2ⁿ ≥ N olan en küçük n; fçıkış = fclk/N
- Dalgacık (ripple) sayıcı
- fmax = 1/(n·tpd)
- Halka ve Johnson sayıcılar
- n ve 2n durum
Yöntem
- Bir devre için girişlerden çıkışa doğru her seferinde bir kapı olacak şekilde çalışın ve her telin üzerine değeri yazın ya da ifadesini yazıp doğruluk tablosunu doldurun.
- Sadeleştirme için 1’leri (ve fark etmez durumlarını X olarak) Gray kodlu satır ve sütunlara, 00, 01, 11, 10, sahip bir Karnaugh haritasına koyun.
- 1’leri kenarlardan dolanarak 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik olabildiğince az ve olabildiğince büyük gruplarla kapsayın; her grup, sabit kalan değişkenlerden oluşan bir çarpım terimidir. POS biçimi için 0’ları gruplayın.
- Flip-floplar ve sayıcılar için girişleri her etkin saat kenarında okuyun, her kenardan sonra durumu yazın ve n bitlik bir sayıcının 2ⁿ durumdan sonra başa sardığını unutmayın.
Veri toplama ve örnekleme
- Nyquist ölçütü
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- Örtüşme frekansı
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- Adım büyüklüğü
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- Kuantalama hatası (yuvarlama)
- ±½ LSB
- Kesen ADC kodu
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- r çözünürlüğü için bit sayısı
- 2ᴺ ≥ span/r
- İdeal SQNR, tam ölçekli sinüs
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- Veri hızı
- kanal × fs × N bit/s
- Çoklayıcılı ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = bayt başına 10 bit; bayt/s = baud/çerçeve başına bit
- Baud hızı bölücüsü
- baud = fclk/(16·D)
Yöntem
- Verilenleri yazın: örnekleme hızı, sinyal frekansları, bit sayısı, giriş aralığı, baud hızı.
- Örnekleme sorularında her frekansı fs/2 ile karşılaştırın; daha yüksek bir frekans, fs’nin en yakın katıyla fa = |f − k·fs| frekansında görünür.
- Çözünürlük sorularında 1 LSB = VFSR/2ᴺ değerini bulun ya da 2ᴺ ≥ aralık/çözünürlük koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.
- Veri hızı ve UART bağlantılarında gönderilen her şeyi sayın: kanalları, saniyedeki örnekleri, örnek başına bitleri ya da tam baytları ve her çerçevenin başlama, eşlik ve durma bitlerini.
2Alıştırma soruları
1.Sayı sistemleriOrta
−94 sayısını 8 bitlik ikiye tümleyen dizisi olarak yazın. Diziyi işaretsiz ikilik sayı olarak okuyun: onluk değeri U nedir?
N = −948 bit
U =
2.Sayı sistemleriZor
Bir sistem 2495 öğenin her birine aynı uzunlukta kendi ikilik kodunu vermelidir. En az kaç bit b gerekir?
2495
b = bit
3.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarOrta
F = AB′C′ + A′B′C + AC′ + ABC′ fonksiyonunu en küçük çarpımlar toplamı biçimine sadeleştirin. Sadeleştirilmiş ifade kaç literal (L) içerir?
F = AB′C′ + A′B′C + AC′ + ABC′
L =
4.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarZor
F(A, B, C, D) = Σm(3, 11, 12, 15) + d(4, 13) fonksiyonunun en küçük SOP biçimini bulun; d fark etmez (don’t-care) durumlarını gösterir. Kaç literal (L) içerir?
F(A, B, C, D) = Σm(3, 11, 12, 15) + d(4, 13)
L =
5.Veri toplama ve örneklemeOrta
Bir kaydedici, 12 bitlik bir ADC ile tek bir kanalı 50 kHz’de örnekliyor. Her örnek tam bayt olarak saklanıyor. 60 dakikalık bir kayıt için gereken belleği M MB cinsinden bulun (1 MB = 10⁶ bayt).
n = 1fs = 50 kHzN = 12t = 60 min
M = MB
6.Veri toplama ve örneklemeZor
16 MHz saatli bir mikrodenetleyici, UART baud hızını fclk/(16·D) olarak ayarlıyor; D, en yakın değere yuvarlanmış bir tam sayıdır. Hedef 4800 baud. Gerçek baud hızının yüzde hatasını bulun (çok hızlıysa pozitif).
fclk = 16 MHzhedef = 4800 Bd
e = %
3Çözeltiler
1.Sayı sistemleri
Cevap: U = 162
Konumsal sayı sistemleri: her basamak, değeri çarpı tabanın bir kuvveti kadar değerlidir. İkilik sistemde basamaklar 1, 2, 4, 8, 16, …; onaltılık sistemde 1, 16, 256, … değerindedir ve A–F, 10–15'i gösterir. 8 bitlik ikiye tümleyende en soldaki bit +128 yerine −128 değerindedir; negatif sayılar böyle saklanır.
Tersine çevirin ve bir ekleyin
94 = 0101 1110
tersine çevrilmiş: 1010 0001
+1 → 1010 0010
İşaretsiz okuyun
1010 0010₂ = 256 − 94 = 162
Cevap
U = 162
2.Sayı sistemleri
Cevap: b = 12 bit
Konumsal sayı sistemleri: her basamak, değeri çarpı tabanın bir kuvveti kadar değerlidir. İkilik sistemde basamaklar 1, 2, 4, 8, 16, …; onaltılık sistemde 1, 16, 256, … değerindedir ve A–F, 10–15'i gösterir. 8 bitlik ikiye tümleyende en soldaki bit +128 yerine −128 değerindedir; negatif sayılar böyle saklanır.
İkinin kuvvetleri
211 = 2048 < 2495
212 = 4096 ≥ 2495
Cevap
b = 12
3.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
Cevap: L = 5
Boole cebiri: ifadeleri sadeleştiren kurallar X + X′ = 1 ve X·X′ = 0, X + X = X, soğurma X + X·Y = X, birleştirme kuralı X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y ve uzlaşma teoremi XY + X′Z + YZ = XY + X′Z’dir. De Morgan yasaları (X·Y)′ ifadesini X′ + Y′’ye ve (X + Y)′ ifadesini X′·Y′’ye çevirir. Bir Karnaugh haritası bu kuralları grafik olarak uygular: iki komşu hücrelik her grup, XY + XY′ = X kuralının bir kullanımıdır.
İfadenin minterimleri
AB′C′ → m(4)
A′B′C → m(1)
AC′ → m(4, 6)
ABC′ → m(6)
Gruplayın ve okuyun
F = AC′ + A′B′C
Literalleri sayın
L = 5
Cevap
L = 5
4.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
Cevap: L = 9
Karnaugh haritaları: hücreler Gray koduyla (00, 01, 11, 10) sıralanır; bu yüzden komşu hücreler, kenarların karşısındakiler dahil, tam olarak tek değişkende farklılaşır. 1’leri 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik dikdörtgenler içinde, olabildiğince büyük ve olabildiğince az sayıda gruplayın; her 1 kapsanana kadar. Her grup bir çarpım terimidir: grubun içinde sabit kalan değişkenler. 2ᵏ hücrelik bir grup k değişken kaybeder. Fark etmez durumları (X) grupları büyütmek için kullanılabilir ama kapsanmaları gerekmez. 0’ları gruplamak en küçük POS biçimini verir.
Asal implikantlar
1’lerden ve X’lerden oluşturulabilen en büyük gruplar.
B′CD, BC′D′, ACD, ABD, ABC′
En küçük kapsama
F = B′CD + BC′D′ + ACD
L = 9
Cevap
L = 9
Aynı büyüklükte başka bir gruplama da vardır; terim ve literal sayısı aynıdır.
5.Veri toplama ve örnekleme
Cevap: M = 360 MB
Veri hızları: her kanal saniyede N bitlik fs örnek verir; ham hız kanal × fs × N bit/s’dir. Bellekte bir örnek tam bayt yer kaplar (12 bitlik bir örnek 2 bayta kaydedilir), bu yüzden bir kayıt için bellek kanal × fs × örnek başına bayt × süre kadardır. Çoklayıcılı bir ADC kanalları art arda dönüştürür: her dönüşüm (oturma süresiyle birlikte) t sürer, dolayısıyla n kanallık bir tur n·t sürer ve her kanal 1/(n·t) hızıyla örneklenir.
Örnek başına bayt
⌈12/8⌉ = 2 B
Bayt hızı
1·50000·2 = 100000 B/s
Bellek
M = 100000·3600 = 3,6 × 10⁸ B = 360 MB
Cevap
M = 360 MB
6.Veri toplama ve örnekleme
Cevap: e = 0,1603 %
UART: asenkron bir seri bağlantı her baytı bir çerçeve olarak gönderir: bir başlama biti (düşük), veri bitleri, isteğe bağlı bir eşlik biti ve bir ya da iki durma biti (yüksek). Baud hızı saniyedeki bit sayısıdır; yani bir bit Tb = 1/baud sürer ve n bitlik bir çerçeve n/baud sürer. Yaygın 8N1 biçiminde bayt başına 10 bit vardır. Baud üreteci saat frekansını böler: baud = fclk/(16·D), D bir tam sayıdır; bu yüzden gerçek baud hızı hedeften biraz farklıdır, yaklaşık %2’nin altındaki bir hata genellikle kabul edilebilir.
Bölücü
D = 16·10⁶/(16·4800) = 208,3 → 208
Gerçek baud hızı
16·10⁶/(16·208) = 4808 Bd
Hata
(4808 − 4800)/4800·100 = 0,1603 %
Cevap
e = 0,1603 %
Yaklaşık %2’nin altındaki bir hata genellikle kabul edilebilir.
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics