Sayı sistemleri
- Basamak değerleri
- ikili 2k, sekizli 8k, onaltılı 16k
- Onluğa
- Σ dk·bk
- Onluktan
- tabana bölün, kalanları aşağıdan yukarı okuyun
- Onaltılı ↔ ikili
- bir onaltılı basamak = 4 bit
- İkiye tümleyen
- bitleri ters çevirin ve 1 ekleyin
Sayısal Elektronik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
- Temel kapılar
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- Boole kuralları
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- De Morgan
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- Karnaugh haritası sırası
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ hücrelik grup
- k değişken kaybeder
- 4’ten 1’e çoklayıcı
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- Flip-floplar
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- Sayıcılar
- n bit: 2ⁿ durum; mod-N: 2ⁿ ≥ N olan en küçük n; fçıkış = fclk/N
- Dalgacık (ripple) sayıcı
- fmax = 1/(n·tpd)
- Halka ve Johnson sayıcılar
- n ve 2n durum
Yöntem
- Bir devre için girişlerden çıkışa doğru her seferinde bir kapı olacak şekilde çalışın ve her telin üzerine değeri yazın ya da ifadesini yazıp doğruluk tablosunu doldurun.
- Sadeleştirme için 1’leri (ve fark etmez durumlarını X olarak) Gray kodlu satır ve sütunlara, 00, 01, 11, 10, sahip bir Karnaugh haritasına koyun.
- 1’leri kenarlardan dolanarak 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik olabildiğince az ve olabildiğince büyük gruplarla kapsayın; her grup, sabit kalan değişkenlerden oluşan bir çarpım terimidir. POS biçimi için 0’ları gruplayın.
- Flip-floplar ve sayıcılar için girişleri her etkin saat kenarında okuyun, her kenardan sonra durumu yazın ve n bitlik bir sayıcının 2ⁿ durumdan sonra başa sardığını unutmayın.
Veri toplama ve örnekleme
- Nyquist ölçütü
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- Örtüşme frekansı
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- Adım büyüklüğü
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- Kuantalama hatası (yuvarlama)
- ±½ LSB
- Kesen ADC kodu
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- r çözünürlüğü için bit sayısı
- 2ᴺ ≥ span/r
- İdeal SQNR, tam ölçekli sinüs
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- Veri hızı
- kanal × fs × N bit/s
- Çoklayıcılı ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = bayt başına 10 bit; bayt/s = baud/çerçeve başına bit
- Baud hızı bölücüsü
- baud = fclk/(16·D)
Yöntem
- Verilenleri yazın: örnekleme hızı, sinyal frekansları, bit sayısı, giriş aralığı, baud hızı.
- Örnekleme sorularında her frekansı fs/2 ile karşılaştırın; daha yüksek bir frekans, fs’nin en yakın katıyla fa = |f − k·fs| frekansında görünür.
- Çözünürlük sorularında 1 LSB = VFSR/2ᴺ değerini bulun ya da 2ᴺ ≥ aralık/çözünürlük koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.
- Veri hızı ve UART bağlantılarında gönderilen her şeyi sayın: kanalları, saniyedeki örnekleri, örnek başına bitleri ya da tam baytları ve her çerçevenin başlama, eşlik ve durma bitlerini.
2Alıştırma soruları
1.Sayı sistemleriOrta
−43 sayısını 8 bitlik ikiye tümleyen dizisi olarak yazın. Diziyi işaretsiz ikilik sayı olarak okuyun: onluk değeri U nedir?
N = −438 bit
U =
2.Sayı sistemleriZor
Sıkıştırılmamış bir görüntü 640 × 480 piksel ve piksel başına 32 bittir. KiB cinsinden (1 KiB = 1024 bayt) ne kadar bellek M kaplar?
640 × 480 px32 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarOrta
F(A, B, C) = Σm(3, 4, 5, 6, 7) fonksiyonunun en küçük çarpımlar toplamı (SOP) biçimini bulmak için Karnaugh haritasını kullanın. Toplamda kaç literal (L) içerir (üzerinde işaret olan bir değişken bir literal sayılır)?
F(A, B, C) = Σm(3, 4, 5, 6, 7)
L =
4.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarZor
Bir 4 bitlik ikilik aşağı sayıcı, 7 (ondalık, Q = 0111) değerinden başlar. 46 saat darbesinden sonra hangi sayıyı, Q, (ondalık olarak) gösterir?
Q0 = 746n = 4
Q =
5.Veri toplama ve örneklemeOrta
85 kHz sinüs dalgası, örtüşme önleyici filtre olmadan 50 kHz ile örnekleniyor. Örneklerde hangi frekansta fa görünür? kHz cinsinden verin.
f = 85 kHzfs = 50 kHz
fa = kHz
6.Veri toplama ve örneklemeZor
10 MHz saatli bir mikrodenetleyici, UART baud hızını fclk/(16·D) olarak ayarlıyor; D, en yakın değere yuvarlanmış bir tam sayıdır. Hedef 19200 baud. Gerçek baud hızının yüzde hatasını bulun (çok hızlıysa pozitif).
fclk = 10 MHzhedef = 19200 Bd
e = %
3Çözeltiler
1.Sayı sistemleri
Cevap: U = 213
Konumsal sayı sistemleri: her basamak, değeri çarpı tabanın bir kuvveti kadar değerlidir. İkilik sistemde basamaklar 1, 2, 4, 8, 16, …; onaltılık sistemde 1, 16, 256, … değerindedir ve A–F, 10–15'i gösterir. 8 bitlik ikiye tümleyende en soldaki bit +128 yerine −128 değerindedir; negatif sayılar böyle saklanır.
Tersine çevirin ve bir ekleyin
43 = 0010 1011
tersine çevrilmiş: 1101 0100
+1 → 1101 0101
İşaretsiz okuyun
1101 0101₂ = 256 − 43 = 213
Cevap
U = 213
2.Sayı sistemleri
Cevap: M = 1200 KiB
Konumsal sayı sistemleri: her basamak, değeri çarpı tabanın bir kuvveti kadar değerlidir. İkilik sistemde basamaklar 1, 2, 4, 8, 16, …; onaltılık sistemde 1, 16, 256, … değerindedir ve A–F, 10–15'i gösterir. 8 bitlik ikiye tümleyende en soldaki bit +128 yerine −128 değerindedir; negatif sayılar böyle saklanır.
Bitler ve baytlar
640·480·32 = 9830400 bit = 1228800 B
KiB'ye çevirin
1228800/1024 = 1200 KiB
Cevap
M = 1200 KiB
3.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
Cevap: L = 3
Karnaugh haritaları: hücreler Gray koduyla (00, 01, 11, 10) sıralanır; bu yüzden komşu hücreler, kenarların karşısındakiler dahil, tam olarak tek değişkende farklılaşır. 1’leri 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik dikdörtgenler içinde, olabildiğince büyük ve olabildiğince az sayıda gruplayın; her 1 kapsanana kadar. Her grup bir çarpım terimidir: grubun içinde sabit kalan değişkenler. 2ᵏ hücrelik bir grup k değişken kaybeder. Fark etmez durumları (X) grupları büyütmek için kullanılabilir ama kapsanmaları gerekmez. 0’ları gruplamak en küçük POS biçimini verir.
1’leri gruplayın
Her grup 2ᵏ hücrelik bir dikdörtgendir; kenardaki hücreler karşı kenardaki hücrelerin komşusudur.
BC
A
En küçük SOP biçimi
F = BC + A
L = 3
Cevap
L = 3
4.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
Cevap: Q = 9
Flip-floplar ve sayıcılar: bir flip-flop yalnızca saatin etkin kenarında değişir. D girişini kopyalar (Q⁺ = D); T, T = 1 iken tersler; JK, 00 için tutar, 01 için sıfırlar, 10 için kurar, 11 için tersler. n bitlik bir ikilik sayıcının 2ⁿ durumu vardır ve 2ⁿ modunda sayar; mod-N sayıcı 0, 1, …, N − 1 sayıp 0’a döner ve 2ⁿ ≥ N olan en küçük n kadar flip-flop gerektirir. Bir dalgacık (ripple) sayıcının her aşaması frekansı yarıya indirir; bu yüzden mod-N sayıcının son çıkışı fclk/N ile çalışır. n flip-flopluk bir Johnson sayıcının 2n durumu, bir halka sayıcının n durumu vardır.
Tam çevrimler
Her 16 darbe sayıcıyı aynı duruma geri getirir.
46 = 2·16 + 14
Kalan darbelerden sonraki sayı
Q = (7 − 14) mod 16 = 9
Q = 1001₂
Cevap
Q = 9
5.Veri toplama ve örnekleme
Cevap: fa = 15 kHz
Örnekleme: bir ADC sinyali saniyede fs kez ölçer. Nyquist–Shannon teoremine göre bir f frekansı ancak f < fs/2 olduğu sürece doğru yakalanır; bu sınır Nyquist (katlanma) frekansıdır. Bu yüzden örnekleme hızı, en yüksek sinyal frekansının iki katını aşmalıdır. Daha yüksek bir frekans kaybolmaz: sonucu 0 ile fs/2 arasına getiren k tam sayısıyla fa = |f − k·fs| frekansında bir örtüşme (alias) olarak görünür. Örnekler ikisini ayırt edemez; bu yüzden ADC’den önce bir analog örtüşme önleyici filtre, fs/2’nin üzerindeki her şeyi kaldırmalıdır.
Nyquist frekansı
fs/2 = 25 kHz < f = 85 kHz
Örnekleme hızının en yakın katı
k = round(85/50) = 2
Örtüşme frekansı
fa = |85 − 2·50| = 15 kHz
Cevap
fa = 15 kHz
Şekildeki kesikli eğri örtüşmedir: tamamen aynı örneklerden geçer.
6.Veri toplama ve örnekleme
Cevap: e = −1,357 %
UART: asenkron bir seri bağlantı her baytı bir çerçeve olarak gönderir: bir başlama biti (düşük), veri bitleri, isteğe bağlı bir eşlik biti ve bir ya da iki durma biti (yüksek). Baud hızı saniyedeki bit sayısıdır; yani bir bit Tb = 1/baud sürer ve n bitlik bir çerçeve n/baud sürer. Yaygın 8N1 biçiminde bayt başına 10 bit vardır. Baud üreteci saat frekansını böler: baud = fclk/(16·D), D bir tam sayıdır; bu yüzden gerçek baud hızı hedeften biraz farklıdır, yaklaşık %2’nin altındaki bir hata genellikle kabul edilebilir.
Bölücü
D = 10·10⁶/(16·19200) = 32,55 → 33
Gerçek baud hızı
10·10⁶/(16·33) = 18939 Bd
Hata
(18939 − 19200)/19200·100 = −1,357 %
Cevap
e = −1,357 %
Yaklaşık %2’nin altındaki bir hata genellikle kabul edilebilir.
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics