Sayı sistemleri
- Basamak değerleri
- ikili 2k, sekizli 8k, onaltılı 16k
- Onluğa
- Σ dk·bk
- Onluktan
- tabana bölün, kalanları aşağıdan yukarı okuyun
- Onaltılı ↔ ikili
- bir onaltılı basamak = 4 bit
- İkiye tümleyen
- bitleri ters çevirin ve 1 ekleyin
Sayısal Elektronik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
- Temel kapılar
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- Boole kuralları
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- De Morgan
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- Karnaugh haritası sırası
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ hücrelik grup
- k değişken kaybeder
- 4’ten 1’e çoklayıcı
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- Flip-floplar
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- Sayıcılar
- n bit: 2ⁿ durum; mod-N: 2ⁿ ≥ N olan en küçük n; fçıkış = fclk/N
- Dalgacık (ripple) sayıcı
- fmax = 1/(n·tpd)
- Halka ve Johnson sayıcılar
- n ve 2n durum
Yöntem
- Bir devre için girişlerden çıkışa doğru her seferinde bir kapı olacak şekilde çalışın ve her telin üzerine değeri yazın ya da ifadesini yazıp doğruluk tablosunu doldurun.
- Sadeleştirme için 1’leri (ve fark etmez durumlarını X olarak) Gray kodlu satır ve sütunlara, 00, 01, 11, 10, sahip bir Karnaugh haritasına koyun.
- 1’leri kenarlardan dolanarak 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik olabildiğince az ve olabildiğince büyük gruplarla kapsayın; her grup, sabit kalan değişkenlerden oluşan bir çarpım terimidir. POS biçimi için 0’ları gruplayın.
- Flip-floplar ve sayıcılar için girişleri her etkin saat kenarında okuyun, her kenardan sonra durumu yazın ve n bitlik bir sayıcının 2ⁿ durumdan sonra başa sardığını unutmayın.
Veri toplama ve örnekleme
- Nyquist ölçütü
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- Örtüşme frekansı
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- Adım büyüklüğü
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- Kuantalama hatası (yuvarlama)
- ±½ LSB
- Kesen ADC kodu
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- r çözünürlüğü için bit sayısı
- 2ᴺ ≥ span/r
- İdeal SQNR, tam ölçekli sinüs
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- Veri hızı
- kanal × fs × N bit/s
- Çoklayıcılı ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = bayt başına 10 bit; bayt/s = baud/çerçeve başına bit
- Baud hızı bölücüsü
- baud = fclk/(16·D)
Yöntem
- Verilenleri yazın: örnekleme hızı, sinyal frekansları, bit sayısı, giriş aralığı, baud hızı.
- Örnekleme sorularında her frekansı fs/2 ile karşılaştırın; daha yüksek bir frekans, fs’nin en yakın katıyla fa = |f − k·fs| frekansında görünür.
- Çözünürlük sorularında 1 LSB = VFSR/2ᴺ değerini bulun ya da 2ᴺ ≥ aralık/çözünürlük koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.
- Veri hızı ve UART bağlantılarında gönderilen her şeyi sayın: kanalları, saniyedeki örnekleri, örnek başına bitleri ya da tam baytları ve her çerçevenin başlama, eşlik ve durma bitlerini.
2Alıştırma soruları
1.Sayı sistemleriOrta
−99 sayısını 8 bitlik ikiye tümleyen dizisi olarak yazın. Diziyi işaretsiz ikilik sayı olarak okuyun: onluk değeri U nedir?
N = −998 bit
U =
2.Sayı sistemleriZor
Bitleri 0100 1110 XOR 1101 1011 işleminin 8 bitlik sonucuna ayarlayın. Sonucun onluk değeri R nedir?
0100 1110XOR1101 1011
R =
3.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarOrta
F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 6, 7, 10, 13, 15) fonksiyonunun en küçük toplamlar çarpımı (POS) biçimini bulmak için Karnaugh haritasını kullanın. Kaç toplam terimi (çarpan) (N) vardır?
F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 6, 7, 10, 13, 15)
N =
4.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarZor
Yükselen kenarla tetiklenen bir JK flip-flop Q = 0 ile başlar ve 6 yükselen saat kenarında gösterilen girişleri alır. Q kaç kez, N, durum değiştirir?
Q₀ = 0JK
N =
5.Veri toplama ve örneklemeOrta
135 kHz sinüs dalgası, örtüşme önleyici filtre olmadan 100 kHz ile örnekleniyor. Örneklerde hangi frekansta fa görünür? kHz cinsinden verin.
f = 135 kHzfs = 100 kHz
fa = kHz
6.Veri toplama ve örneklemeZor
1,92 kHz bir kare dalga, örtüşme önleyici filtre olmadan 8 kHz ile örnekleniyor. Kare dalga 3f₁, 5f₁, 7f₁, … tek harmoniklerini içerir. 3f₁ harmoniği örneklenmiş veride hangi frekansta fa görünür? Hz cinsinden verin.
f₁ = 1,92 kHzfs = 8 kHzharmonik: 3f₁
fa = Hz
3Çözeltiler
1.Sayı sistemleri
Cevap: U = 157
Konumsal sayı sistemleri: her basamak, değeri çarpı tabanın bir kuvveti kadar değerlidir. İkilik sistemde basamaklar 1, 2, 4, 8, 16, …; onaltılık sistemde 1, 16, 256, … değerindedir ve A–F, 10–15'i gösterir. 8 bitlik ikiye tümleyende en soldaki bit +128 yerine −128 değerindedir; negatif sayılar böyle saklanır.
Tersine çevirin ve bir ekleyin
99 = 0110 0011
tersine çevrilmiş: 1001 1100
+1 → 1001 1101
İşaretsiz okuyun
1001 1101₂ = 256 − 99 = 157
Cevap
U = 157
2.Sayı sistemleri
Cevap: R = 149
Bitleri ayarlamak: her bit ikinin bir kuvveti değerindedir (128, 64, …, 1). Bir onaltılık basamak tam olarak dört bittir ve 8 bitlik ikiye tümleyende en soldaki bit −128 değerindedir. Bit işlemleri her bit konumunda ayrı ayrı çalışır.
Bit bit
XOR iki bit farklı olduğunda 1 verir.
0100 1110
XOR 1101 1011
= 1001 0101
Sonucun değeri
1001 0101₂ = 149
Cevap
R = 149
3.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
Cevap: N = 4
Karnaugh haritaları: hücreler Gray koduyla (00, 01, 11, 10) sıralanır; bu yüzden komşu hücreler, kenarların karşısındakiler dahil, tam olarak tek değişkende farklılaşır. 1’leri 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik dikdörtgenler içinde, olabildiğince büyük ve olabildiğince az sayıda gruplayın; her 1 kapsanana kadar. Her grup bir çarpım terimidir: grubun içinde sabit kalan değişkenler. 2ᵏ hücrelik bir grup k değişken kaybeder. Fark etmez durumları (X) grupları büyütmek için kullanılabilir ama kapsanmaları gerekmez. 0’ları gruplamak en küçük POS biçimini verir.
0’ları gruplayın
Her grup 2ᵏ hücrelik bir dikdörtgendir; kenardaki hücreler karşı kenardaki hücrelerin komşusudur.
(A′ + C + D)
(A′ + B + D′)
(A′ + B′ + D)
(A + B′ + C)
En küçük POS biçimi
F = (A′ + C + D)(A′ + B + D′)(A′ + B′ + D)(A + B′ + C)
N = 4
Cevap
N = 4
Aynı büyüklükte başka bir gruplama da vardır; terim ve literal sayısı aynıdır.
4.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
Cevap: N = 2
Flip-floplar ve sayıcılar: bir flip-flop yalnızca saatin etkin kenarında değişir. D girişini kopyalar (Q⁺ = D); T, T = 1 iken tersler; JK, 00 için tutar, 01 için sıfırlar, 10 için kurar, 11 için tersler. n bitlik bir ikilik sayıcının 2ⁿ durumu vardır ve 2ⁿ modunda sayar; mod-N sayıcı 0, 1, …, N − 1 sayıp 0’a döner ve 2ⁿ ≥ N olan en küçük n kadar flip-flop gerektirir. Bir dalgacık (ripple) sayıcının her aşaması frekansı yarıya indirir; bu yüzden mod-N sayıcının son çıkışı fclk/N ile çalışır. n flip-flopluk bir Johnson sayıcının 2n durumu, bir halka sayıcının n durumu vardır.
Her kenardan sonra Q
Bir JK flip-flop: 00 tutar, 01 sıfırlar (Q = 0), 10 kurar (Q = 1), 11 tersler.
1: J = 0, K = 0 → Q = 0
2: J = 1, K = 0 → Q = 1
3: J = 0, K = 0 → Q = 1
4: J = 0, K = 0 → Q = 1
5: J = 1, K = 0 → Q = 1
6: J = 1, K = 1 → Q = 0
Değişimleri sayın
0 → 0 → 1 → 1 → 1 → 1 → 0
N = 2
Cevap
N = 2
5.Veri toplama ve örnekleme
Cevap: fa = 35 kHz
Örnekleme: bir ADC sinyali saniyede fs kez ölçer. Nyquist–Shannon teoremine göre bir f frekansı ancak f < fs/2 olduğu sürece doğru yakalanır; bu sınır Nyquist (katlanma) frekansıdır. Bu yüzden örnekleme hızı, en yüksek sinyal frekansının iki katını aşmalıdır. Daha yüksek bir frekans kaybolmaz: sonucu 0 ile fs/2 arasına getiren k tam sayısıyla fa = |f − k·fs| frekansında bir örtüşme (alias) olarak görünür. Örnekler ikisini ayırt edemez; bu yüzden ADC’den önce bir analog örtüşme önleyici filtre, fs/2’nin üzerindeki her şeyi kaldırmalıdır.
Nyquist frekansı
fs/2 = 50 kHz < f = 135 kHz
Örnekleme hızının en yakın katı
k = round(135/100) = 1
Örtüşme frekansı
fa = |135 − 1·100| = 35 kHz
Cevap
fa = 35 kHz
Şekildeki kesikli eğri örtüşmedir: tamamen aynı örneklerden geçer.
6.Veri toplama ve örnekleme
Cevap: fa = 2240 Hz
Örnekleme: bir ADC sinyali saniyede fs kez ölçer. Nyquist–Shannon teoremine göre bir f frekansı ancak f < fs/2 olduğu sürece doğru yakalanır; bu sınır Nyquist (katlanma) frekansıdır. Bu yüzden örnekleme hızı, en yüksek sinyal frekansının iki katını aşmalıdır. Daha yüksek bir frekans kaybolmaz: sonucu 0 ile fs/2 arasına getiren k tam sayısıyla fa = |f − k·fs| frekansında bir örtüşme (alias) olarak görünür. Örnekler ikisini ayırt edemez; bu yüzden ADC’den önce bir analog örtüşme önleyici filtre, fs/2’nin üzerindeki her şeyi kaldırmalıdır.
Harmonik frekansı
3f₁ = 3·1,92 kHz = 5,76 kHz
Örnekleme hızının en yakın katı
m = round(0,72) = 1
Örtüşme frekansı
fa = |5760 − 1·8000| = 2240 Hz
Cevap
fa = 2240 Hz
Örtüşme, hiçbir dijital filtrenin kaldıramayacağı sinyal bandının içine düşer. Yalnızca ADC’den önceki bir analog filtre işe yarar.
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics