Sayı sistemleri
- Basamak değerleri
- ikili 2k, sekizli 8k, onaltılı 16k
- Onluğa
- Σ dk·bk
- Onluktan
- tabana bölün, kalanları aşağıdan yukarı okuyun
- Onaltılı ↔ ikili
- bir onaltılı basamak = 4 bit
- İkiye tümleyen
- bitleri ters çevirin ve 1 ekleyin
Sayısal Elektronik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
- Temel kapılar
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- Boole kuralları
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- De Morgan
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- Karnaugh haritası sırası
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ hücrelik grup
- k değişken kaybeder
- 4’ten 1’e çoklayıcı
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- Flip-floplar
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- Sayıcılar
- n bit: 2ⁿ durum; mod-N: 2ⁿ ≥ N olan en küçük n; fçıkış = fclk/N
- Dalgacık (ripple) sayıcı
- fmax = 1/(n·tpd)
- Halka ve Johnson sayıcılar
- n ve 2n durum
Yöntem
- Bir devre için girişlerden çıkışa doğru her seferinde bir kapı olacak şekilde çalışın ve her telin üzerine değeri yazın ya da ifadesini yazıp doğruluk tablosunu doldurun.
- Sadeleştirme için 1’leri (ve fark etmez durumlarını X olarak) Gray kodlu satır ve sütunlara, 00, 01, 11, 10, sahip bir Karnaugh haritasına koyun.
- 1’leri kenarlardan dolanarak 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik olabildiğince az ve olabildiğince büyük gruplarla kapsayın; her grup, sabit kalan değişkenlerden oluşan bir çarpım terimidir. POS biçimi için 0’ları gruplayın.
- Flip-floplar ve sayıcılar için girişleri her etkin saat kenarında okuyun, her kenardan sonra durumu yazın ve n bitlik bir sayıcının 2ⁿ durumdan sonra başa sardığını unutmayın.
Veri toplama ve örnekleme
- Nyquist ölçütü
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- Örtüşme frekansı
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- Adım büyüklüğü
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- Kuantalama hatası (yuvarlama)
- ±½ LSB
- Kesen ADC kodu
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- r çözünürlüğü için bit sayısı
- 2ᴺ ≥ span/r
- İdeal SQNR, tam ölçekli sinüs
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- Veri hızı
- kanal × fs × N bit/s
- Çoklayıcılı ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = bayt başına 10 bit; bayt/s = baud/çerçeve başına bit
- Baud hızı bölücüsü
- baud = fclk/(16·D)
Yöntem
- Verilenleri yazın: örnekleme hızı, sinyal frekansları, bit sayısı, giriş aralığı, baud hızı.
- Örnekleme sorularında her frekansı fs/2 ile karşılaştırın; daha yüksek bir frekans, fs’nin en yakın katıyla fa = |f − k·fs| frekansında görünür.
- Çözünürlük sorularında 1 LSB = VFSR/2ᴺ değerini bulun ya da 2ᴺ ≥ aralık/çözünürlük koşulunu sağlayan en küçük N’yi seçin.
- Veri hızı ve UART bağlantılarında gönderilen her şeyi sayın: kanalları, saniyedeki örnekleri, örnek başına bitleri ya da tam baytları ve her çerçevenin başlama, eşlik ve durma bitlerini.
2Alıştırma soruları
1.Sayı sistemleriOrta
8 bitlik 1010 0011 dizisi, ikiye tümleyen biçiminde işaretli bir tam sayı saklıyor. Onluk değeri N nedir?
1010 00118 bit
N =
2.Sayı sistemleriZor
Bitleri 1010 1000 OR 0010 1101 işleminin 8 bitlik sonucuna ayarlayın. Sonucun onluk değeri R nedir?
1010 1000OR0010 1101
R =
3.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarOrta
F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 4, 6, 7, 9) fonksiyonunun en küçük toplamlar çarpımı (POS) biçimini bulmak için Karnaugh haritasını kullanın. Kaç toplam terimi (çarpan) (N) vardır?
F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 4, 6, 7, 9)
N =
4.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarZor
Eşzamanlı bir mod-11 sayıcı 0, 1, …, 10 sayar ve sonra 0’a döner. 1 değerinden başlar. 18 saat darbesinden sonra hangi sayıyı, Q, (ondalık olarak) gösterir?
Q0 = 118N = 11
Q =
5.Veri toplama ve örneklemeOrta
Bir kaydedici, 12 bitlik bir ADC ile tek bir kanalı 5 kHz’de örnekliyor. Her örnek tam bayt olarak saklanıyor. 5 dakikalık bir kayıt için gereken belleği M MB cinsinden bulun (1 MB = 10⁶ bayt).
n = 1fs = 5 kHzN = 12t = 5 min
M = MB
6.Veri toplama ve örneklemeZor
2 kHz bir kare dalga, örtüşme önleyici filtre olmadan 5 kHz ile örnekleniyor. Kare dalga 3f₁, 5f₁, 7f₁, … tek harmoniklerini içerir. 3f₁ harmoniği örneklenmiş veride hangi frekansta fa görünür? Hz cinsinden verin.
f₁ = 2 kHzfs = 5 kHzharmonik: 3f₁
fa = Hz
3Çözeltiler
1.Sayı sistemleri
Cevap: N = −93
Konumsal sayı sistemleri: her basamak, değeri çarpı tabanın bir kuvveti kadar değerlidir. İkilik sistemde basamaklar 1, 2, 4, 8, 16, …; onaltılık sistemde 1, 16, 256, … değerindedir ve A–F, 10–15'i gösterir. 8 bitlik ikiye tümleyende en soldaki bit +128 yerine −128 değerindedir; negatif sayılar böyle saklanır.
Değerleri toplayın
Diğer bitler normal pozitif değerlerini korur.
−128 + 32 + 2 + 1 = −93
Cevap
N = −93
2.Sayı sistemleri
Cevap: R = 173
Bitleri ayarlamak: her bit ikinin bir kuvveti değerindedir (128, 64, …, 1). Bir onaltılık basamak tam olarak dört bittir ve 8 bitlik ikiye tümleyende en soldaki bit −128 değerindedir. Bit işlemleri her bit konumunda ayrı ayrı çalışır.
Bit bit
OR en az bir bit 1 olduğunda 1 verir.
1010 1000
OR 0010 1101
= 1010 1101
Sonucun değeri
1010 1101₂ = 173
Cevap
R = 173
3.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
Cevap: N = 4
Karnaugh haritaları: hücreler Gray koduyla (00, 01, 11, 10) sıralanır; bu yüzden komşu hücreler, kenarların karşısındakiler dahil, tam olarak tek değişkende farklılaşır. 1’leri 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik dikdörtgenler içinde, olabildiğince büyük ve olabildiğince az sayıda gruplayın; her 1 kapsanana kadar. Her grup bir çarpım terimidir: grubun içinde sabit kalan değişkenler. 2ᵏ hücrelik bir grup k değişken kaybeder. Fark etmez durumları (X) grupları büyütmek için kullanılabilir ama kapsanmaları gerekmez. 0’ları gruplamak en küçük POS biçimini verir.
0’ları gruplayın
Her grup 2ᵏ hücrelik bir dikdörtgendir; kenardaki hücreler karşı kenardaki hücrelerin komşusudur.
(B + C′ + D)
(B′ + C + D′)
(A′ + D)
(A′ + C′)
En küçük POS biçimi
F = (B + C′ + D)(B′ + C + D′)(A′ + D)(A′ + C′)
N = 4
Cevap
N = 4
4.Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar
Cevap: Q = 8
Flip-floplar ve sayıcılar: bir flip-flop yalnızca saatin etkin kenarında değişir. D girişini kopyalar (Q⁺ = D); T, T = 1 iken tersler; JK, 00 için tutar, 01 için sıfırlar, 10 için kurar, 11 için tersler. n bitlik bir ikilik sayıcının 2ⁿ durumu vardır ve 2ⁿ modunda sayar; mod-N sayıcı 0, 1, …, N − 1 sayıp 0’a döner ve 2ⁿ ≥ N olan en küçük n kadar flip-flop gerektirir. Bir dalgacık (ripple) sayıcının her aşaması frekansı yarıya indirir; bu yüzden mod-N sayıcının son çıkışı fclk/N ile çalışır. n flip-flopluk bir Johnson sayıcının 2n durumu, bir halka sayıcının n durumu vardır.
Tam çevrimler
Her 11 darbe sayıcıyı aynı duruma geri getirir.
18 = 1·11 + 7
Kalan darbelerden sonraki sayı
Q = (1 + 7) mod 11 = 8
Q = 1000₂
Cevap
Q = 8
5.Veri toplama ve örnekleme
Cevap: M = 3 MB
Veri hızları: her kanal saniyede N bitlik fs örnek verir; ham hız kanal × fs × N bit/s’dir. Bellekte bir örnek tam bayt yer kaplar (12 bitlik bir örnek 2 bayta kaydedilir), bu yüzden bir kayıt için bellek kanal × fs × örnek başına bayt × süre kadardır. Çoklayıcılı bir ADC kanalları art arda dönüştürür: her dönüşüm (oturma süresiyle birlikte) t sürer, dolayısıyla n kanallık bir tur n·t sürer ve her kanal 1/(n·t) hızıyla örneklenir.
Örnek başına bayt
⌈12/8⌉ = 2 B
Bayt hızı
1·5000·2 = 10000 B/s
Bellek
M = 10000·300 = 3 × 10⁶ B = 3 MB
Cevap
M = 3 MB
6.Veri toplama ve örnekleme
Cevap: fa = 1000 Hz
Örnekleme: bir ADC sinyali saniyede fs kez ölçer. Nyquist–Shannon teoremine göre bir f frekansı ancak f < fs/2 olduğu sürece doğru yakalanır; bu sınır Nyquist (katlanma) frekansıdır. Bu yüzden örnekleme hızı, en yüksek sinyal frekansının iki katını aşmalıdır. Daha yüksek bir frekans kaybolmaz: sonucu 0 ile fs/2 arasına getiren k tam sayısıyla fa = |f − k·fs| frekansında bir örtüşme (alias) olarak görünür. Örnekler ikisini ayırt edemez; bu yüzden ADC’den önce bir analog örtüşme önleyici filtre, fs/2’nin üzerindeki her şeyi kaldırmalıdır.
Harmonik frekansı
3f₁ = 3·2 kHz = 6 kHz
Örnekleme hızının en yakın katı
m = round(1,2) = 1
Örtüşme frekansı
fa = |6000 − 1·5000| = 1000 Hz
Cevap
fa = 1000 Hz
Örtüşme, hiçbir dijital filtrenin kaldıramayacağı sinyal bandının içine düşer. Yalnızca ADC’den önceki bir analog filtre işe yarar.
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics