Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 20 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
L = limx→∞ (1 − 1/x)x limitini bulun. Ondalık bir değer verin.
x radyan cinsinden olmak üzere L = limx→0 (1 − cos 2x)/(2x²) limitini bulun.
f(x) = (2x − 3)5 olsun. f′(0)'yi bulun.
f(x) = −x2 + x + 4 fonksiyonunun x = 3 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.
I = ∫02 2x·(x² + 1)3 dx'i hesaplayın.
y = 1 − x² parabolü ile x ekseni arasındaki bölgenin alanı A'ı bulun.
z₁ = 2∠−60° ve z₂ = 3∠−140° verilmiş. w = z₁/z₂ sayısının sanal kısmını bulun.
n = 5 ve w = 243∠45° için zⁿ = w denkleminin kökleri, k = 0, 1, …, 4 olmak üzere zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)’dir. z₄ kökünün gerçel kısmını bulun.
440 °C’deki dövme çelik bir parça 27 °C’deki bir atölyede soğumaya bırakılıyor. 34 dakika sonra sıcaklığı 102 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sabit k değerini min⁻¹ cinsinden bulun.
Bir sistem t ≥ 0 için y″ + 4y′ + 29y = 145 denklemine uyuyor ve durgun halden başlıyor: y(0) = 0, y′(0) = 0. Basamak tepkisinin tepe değerini ymax bulun.
Gösterilen 3×3 A matrisinin determinantı det A'ı bulun.
−4x + y = 1 ve −2x + 6y = 3 sistemini çözün. x'yi bulun.
a = (−4, 5, −4) ve b = (−5, 2, k) vektörlerinin dik olduğu k değerini bulun.
n̂ birim vektörü hem a = (1, 3, 1) hem de b = (2, 4, 3) vektörüne diktir ve pozitif z bileşenine sahiptir. Onun y bileşenini n̂y bulun.
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 2X + 10. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 25, 16, 44, 28, 16.
Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 25 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 531,3'ün altındadır?
sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 45,5 ile 83 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %10 olan x değerini bulun (10. yüzdelik).
Cevap: L = 0,3679
Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).
u → 0 iken ln(1 + u)/u → 1, dolayısıyla x·ln(1 + a/x) → a.
Cevap: L = 1
Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).
Cevap: f′(0) = 810
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Cevap: b = 13
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Cevap: I = 156
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Cevap: A = 1,333
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Cevap: Im(w) = 0,6565
Kutupsal biçim: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ; r = |z| ve θ = arg z. Dikdörtgen biçime dönüş: a = r cos θ, b = r sin θ. Argüman için bölge gerekir: θ = atan(b/a) yalnızca a > 0 için geçerlidir; a < 0 için 180° ekleyin ya da çıkarın. Kutupsal biçimde çarpma kolaydır: modülleri çarpın, argümanları toplayın; bölmek için modülleri bölün, argümanları çıkarın.
Cevap: Re(z₄) = 1,362
De Moivre ve kökler: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. zⁿ = R∠φ denkleminin tam olarak n kökü vardır; hepsinin modülü R1/n’dir ve argümanları k = 0, 1, …, n − 1 için (φ + 360°·k)/n’dir: bir çember üzerinde eşit aralıklarla, 360°/n arayla dizilirler. p² < 4q olan z² + pz + q = 0 ikinci derece denkleminin karmaşık kökleri z = −p/2 ± j√(q − p²/4)’tür; gerçel katsayılı bir polinomun karmaşık kökleri her zaman a ± jb eşlenik çiftleri hâlindedir.
5 kök, yarıçapı 3 olan çember üzerinde, birbirinden 72° arayla durur.
Cevap: k = 0,05018 min⁻¹
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Cevap: ymax = 6,423
İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.
Cevap: det A = 70
Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.
Cevap: x = −0,1364
Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.
Cevap: k = 7,5
Skaler çarpım: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ bir skalerdir. İki vektör arasındaki açıyı verir, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ve vektörler dik olduğunda sıfırdır. a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü a·b/|b|’dir ve d yer değiştirmesi boyunca hareket eden sabit bir F kuvveti W = F·d işi yapar.
Cevap: n̂y = 0,1826
Vektörel çarpım: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) her iki vektöre de diktir ve |a × b| = |a|·|b|·sin θ, bu vektörlerin gerdiği paralelkenarın alanıdır (üçgen bunun yarısıdır). Sıra önemlidir: b × a = −(a × b). A noktasına uygulanan F kuvvetinin O noktasına göre momenti MO = r × F’dir; burada r = A − O.
a × b’nin z bileşeni negatiftir, bu yüzden −(a × b) kullanın.
Cevap: Var(X) = 1,55
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Cevap: σY = 2,482
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama ise kayar: E(Y) = 2·1,6 + 10 = 13,2.
Cevap: s = 11,5
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Cevap: P = 0,8944
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Cevap: P = 0,9385
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Cevap: x = 24,31 min
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics