Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 20 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
L = limx→∞ (1 + 1/x)2x limitini bulun. Ondalık bir değer verin.
L = limx→0 (e−0,5x − 1 + 0,5x)/x² limitini bulun.
f(x) = ln(x2 + 4) olsun. f′(1)'i bulun.
f(x) = −x2 − 5 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.
y = 0,5x eğrisinin altında, x = 0’dan x = 4’e kadar olan bölge x ekseni etrafında döndürülüyor. Cismin (bir koni) hacmini V bulun.
y = 0,5x2 ve y = 3x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.
z = 3·e−j1 sayısının açısı radyan cinsindendir. Sanal kısmını bulun: b.
z² + 4z + 8 = 0 denklemini çözün. Kökler a ± jb’dir; gerçel kısmı, a, bulun.
80 °C’deki bir fincan kahve 23 °C’deki bir odada bırakılıyor. 27 dakika sonra sıcaklığı 30 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sabit k değerini min⁻¹ cinsinden bulun.
Bir sistem t ≥ 0 için y″ + 2y′ + 10y = 100 denklemine uyuyor ve durgun halden başlıyor: y(0) = 0, y′(0) = 0. y(0,25) değerini bulun; açılar radyan cinsinden.
Gösterilen 3×3 A matrisinin determinantı det A'ı bulun.
−4x + 3y = −2 ve 5x − 6y = 7 sistemini çözün. x'yi bulun.
Sabit bir F = (−5, −5, −15) N kuvveti, bir cisme A(1, 1, 3) noktasından B(−5, −4, 5) noktasına doğrusal hareket ederken etki ediyor. Koordinatlar metre cinsindendir. Kuvvetin yaptığı işi W bulun.
F = (−10, 30, 40) N kuvveti A(1, 4, −2) noktasına etki ediyor. Koordinatlar metre cinsindendir. Kuvvetin O(0, 0, 0) orijini noktasına göre momentinin x bileşenini Mx bulun.
11 kişilik bir gruptan 5 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.
Bir testte 7 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,2 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 2 doğru cevap olasılığı P nedir?
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 41, 57, 53, 30, 49, 17.
Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 185'ün altındadır?
pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 488 ile 522 h arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %5 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
Cevap: L = 7,389
Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).
u → 0 iken ln(1 + u)/u → 1, dolayısıyla x·ln(1 + a/x) → a.
Cevap: L = 0,125
Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).
Cevap: f′(1) = 0,4
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Cevap: b = −1
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Cevap: V = 16,76
Dönel cisim hacimleri: y = f(x) eğrisi altındaki x = a’dan x = b’ye bölgeyi x ekseni etrafında döndürmek, x’teki kesiti f(x) yarıçaplı bir disk olan bir cisim oluşturur. Diskleri toplamak V = π∫ₐᵇ f(x)² dx verir. Bölge bir dış R(x) eğrisi ile bir iç r(x) eğrisi arasında olduğunda her dilim bir rondeladır: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Yarıçapların karesini çıkarmadan önce alın.
Kontrol: yarıçapı 2, yüksekliği 4 olan bir koninin hacmi (1/3)πr²h = 16,76.
Cevap: A = 18
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Cevap: b = −2,524
Kutupsal biçim: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ; r = |z| ve θ = arg z. Dikdörtgen biçime dönüş: a = r cos θ, b = r sin θ. Argüman için bölge gerekir: θ = atan(b/a) yalnızca a > 0 için geçerlidir; a < 0 için 180° ekleyin ya da çıkarın. Kutupsal biçimde çarpma kolaydır: modülleri çarpın, argümanları toplayın; bölmek için modülleri bölün, argümanları çıkarın.
Cevap: a = −2
De Moivre ve kökler: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. zⁿ = R∠φ denkleminin tam olarak n kökü vardır; hepsinin modülü R1/n’dir ve argümanları k = 0, 1, …, n − 1 için (φ + 360°·k)/n’dir: bir çember üzerinde eşit aralıklarla, 360°/n arayla dizilirler. p² < 4q olan z² + pz + q = 0 ikinci derece denkleminin karmaşık kökleri z = −p/2 ± j√(q − p²/4)’tür; gerçel katsayılı bir polinomun karmaşık kökleri her zaman a ± jb eşlenik çiftleri hâlindedir.
Cevap: k = 0,07767 min⁻¹
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Cevap: y(0.25) = 2,532
İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.
Cevap: det A = −170
Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.
Cevap: x = −1
Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.
Cevap: W = 25 J
Skaler çarpım: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ bir skalerdir. İki vektör arasındaki açıyı verir, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ve vektörler dik olduğunda sıfırdır. a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü a·b/|b|’dir ve d yer değiştirmesi boyunca hareket eden sabit bir F kuvveti W = F·d işi yapar.
Cevap: Mx = 220 N·m
Vektörel çarpım: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) her iki vektöre de diktir ve |a × b| = |a|·|b|·sin θ, bu vektörlerin gerdiği paralelkenarın alanıdır (üçgen bunun yarısıdır). Sıra önemlidir: b × a = −(a × b). A noktasına uygulanan F kuvvetinin O noktasına göre momenti MO = r × F’dir; burada r = A − O.
Cevap: N = 462
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Cevap: P = 0,2753
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Cevap: s = 15,24
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Cevap: P = 0,8413
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Cevap: P = 0,3268
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Cevap: x = 189,5 cm
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics