FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 30 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Zeminde efektif gerilme

Toplam gerilme
σ = Σγi·hi
Boşluk suyu basıncı
u = γw·(z − zw)
Efektif gerilme
σ′ = σ − u
Su
γw = 9,81 kN/m³

Konsolidasyon oturması

Normal konsolide
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
Son gerilme
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
Aşırı konsolide, σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
Aşırı konsolide, σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
Aşırı konsolidasyon oranı
OCR = σ′p/σ′0
Konsolidasyon süresi
t = Tv·Hdr²/cv
Drenaj yolu
Hdr = H/2 (çift yönlü drenaj), H (tek yönlü drenaj)
Zaman faktörleri
U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatik kuvvet

Derinlikteki basınç
p = ρgh
Düşey duvara etkiyen kuvvet
F = ρg·hc·A
Basınç merkezi
yp = yc + Ic/(ycA)
Dikdörtgen
Ic = bH³/12

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Reynolds sayısı
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Akış rejimi
Re ≈ 2000’in altında laminer, Re ≈ 4000’in üstünde türbülanslı
Ortalama hız
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Yerel kayıplar
hm = ΣK·V²/(2g)
Tipik K değerleri
giriş 0,5, çıkış 1,0, 90° dirsek ≈ 0,3
Basınç düşüşü
Δp = ρ·g·hf
İki açık hazne
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Serbest çıkış
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Açık kanal akışı (Manning)

Manning denklemi
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Debi
Q = A·V
Hidrolik yarıçap
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Dikdörtgen
A = b·y, P = b + 2y
Yamuk (şev eğimi z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Dairesel boru, tam veya yarı dolu
R = D/4
Gerekli eğim
S = (n·Q/(A·R2/3))²

Pompalar ve pompa gücü

Hidrolik güç
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Mil gücü
Pshaft = Ph/ηpump
Elektrik gücü
Pel = Pshaft/ηmotor
Pompa basma yüksekliği
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Sistem kayıpları
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Paranın zaman değeri

Gelecek değer
FV = PV·(1 + i)n
Bugünkü değer
PV = FV/(1 + i)n
Yılda birden çok dönem
i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anüite, gelecek değer
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

Yöntem

  1. Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
  2. Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
  3. Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
  4. Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

NBD ve IRR

Net bugünkü değer
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Eşit nakit akışları
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
İç verim oranı
NPV = 0 yapan r
Karar
NPV > 0 ise (veya IRR > gerekli getiri) kabul et

Yöntem

  1. Tüm nakit akışlarını yıllarıyla listeleyin; 0. yıldaki yatırım negatiftir.
  2. Her nakit akışını iskonto edin: CFt/(1 + r)t.
  3. NBD’yi bulmak için toplayın. Pozitif değer, projenin r’den fazla kazandırdığı anlamına gelir.
  4. İVO için NBD’yi sıfır yapan oranı deneme yoluyla veya enterpolasyonla bulun.

Normal dağılım

z puanı
z = (x − μ)/σ
x’in altında
P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında
Φ(z2) − Φ(z1)
Yüzdelik
x = μ + z·σ

Yöntem

  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 40 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​ = ?1,5 m2,5 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 5 mP1 = 40 kN @ 1,5 mP2 = 50 kN @ 4 m
RB = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w = 5 kN/mP = 35 kNABRA​ = ?RB​4 m1 m2 m3 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.

L = 10 mP = 35 kN @ 5 mw = 5 kN/m, 4 ile 7 m arasında
RA = kN
3.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABCDEFGH10 kN35 kN4 × 3 m4 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

G: 10 kN ↓H: 35 kN ↓
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12BG elemanı
  13. 13DG elemanı
4.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB50 kN5 kN6 m2 m4 m

BC çubuğundaki FBC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 4 mB, A’dan 2 m uzaktadüşey yük = 50 kNyatay yük = 5 kN ←
FBC = kN
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 10 kN/mABkesit3,5 m1,5 m

A mesnedinden x = 3,5 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti Vx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mw = 10 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 3,5 m
Vx = kN
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 6 kN/mP = 20 kNABkesit3 m5 m

A mesnedinden x = 3 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 8 mP = 20 kN @ 3 mw = 6 kN/m, 0 ile 8 m arasındax = 3 m
Mx = kN·m
7.Kiriş sehimiOrta
P = 26 kNABδ1,5 m0,5 m

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 1,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δP değerini bulun.

P = 26 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 12 kN/mδL = 8 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti Ireq değerini bulun.

w = 12 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (çelik)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 3 md = 20 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 20 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 2 md = 80 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 80 mm
σcr = MPa
11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
120253008xboyutlar mm cinsinden

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti Ix değerini bulun.

bf = 120 mmtf = 25 mmtw = 8 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
160301608xpozitif Mboyutlar mm cinsinden

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 35 MPa, basınçta 120 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük pozitif eğilme momenti Mallow değerini bulun.

bf = 160 mmtf = 30 mmtw = 8 mmhw = 160 mmσt,allow = 35 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
13.Zeminde efektif gerilmeOrta
kumγd​ = 17 kN/m³γsat​ = 19 kN/m³7 myeraltı su seviyesiXz = 6 m

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki düşey efektif gerilme σ′ değerini bulun.

z = 6 mzw = 4 mγw = 9,81 kN/m³kum: γd = 17 kN/m³kum: γsat = 19 kN/m³
σ′ = kPa
14.Zeminde efektif gerilmeZor
kumγd​ = 16,5 kN/m³γsat​ = 19 kN/m³5 mkilγsat​ = 18 kN/m³4 myeraltı su seviyesiXz = 7 m

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki düşey efektif gerilme σ′ değerini bulun.

z = 7 mzw = 3 mγw = 9,81 kN/m³kum: γd = 16,5 kN/m³kum: γsat = 19 kN/m³kil: γsat = 18 kN/m³
σ′ = kPa
15.Konsolidasyon oturmasıOrta
Δσ = 10 kPakumkilCc​ = 0,5, Cr​ = 0,06e0​ = 0,6σ′0​ = 90 kPaσ′p​ = 120 kPa7 myeraltı su seviyesi

7 m kalınlığındaki aşırı konsolide bir kil tabakasının Cc = 0,5, Cr = 0,06 ve e₀ = 0,6. Orta derinliğindeki efektif düşey gerilme 90 kPa ve ön konsolidasyon basıncı 120 kPa’dır. Yeni bir bina orta derinlikte 10 kPa düşey gerilme ekliyor. Birincil konsolidasyon oturması S değerini mm cinsinden bulun.

H = 7 mCc = 0,5Cr = 0,06e0 = 0,6σ′0 = 90 kPaσ′p = 120 kPaΔσ = 10 kPa
S = mm
16.Konsolidasyon oturmasıZor
kumkilH = 2,5 m2,5 mgeçirimsiz kayayeraltı su seviyesi

Bir laboratuvar ödometre deneyinde, üstten ve alttan drene edilen 20 mm kalınlığındaki bir kil numunesi 15 dakikada %50 konsolidasyona ulaşıyor. Arazide aynı kil 2,5 m kalınlığında bir tabaka oluşturuyor. Üstünde kum bulunan geçirimsiz kaya üzerinde durur, bu yüzden su yalnızca üstten drene olur. Arazideki tabakanın %50 konsolidasyona ulaşması kaç gün t sürer?

hlab = 20 mmtlab = 15 minH = 2,5 marazi: tek yönlü drenaj
t = gün
17.Hidrostatik kuvvetOrta
kapakd = 2 mH = 1,5 m

3 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 2 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
18.Hidrostatik kuvvetZor
kapakd = 0,5 mH = 1 m

2 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, gliserin dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 0,5 m altında bulunuyor. Basınç merkezinin yüzeyden derinliği ycp değerini bulun.

d = 0,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
19.Boru sürtünmesi ve yük kaybıOrta
V = 2,3 m/sD = 250 mmL = 100 mf = 0,018

Su (ρ = 1000 kg/m³), 100 m uzunluğunda ve iç çapı 250 mm olan yatay bir borudan 2,3 m/s hızla akıyor. Darcy sürtünme faktörü f = 0,018 ve g = 9,81 m/s² kullanın. Boru boyunca basınç düşüşü Δp değerini kPa cinsinden bulun.

V = 2,3 m/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.Boru sürtünmesi ve yük kaybıZor
K = 0,2Δz = 19 mL = 400 m, D = 300 mm, f = 0,0153× dirsek (K = 0,3)

İki açık hazne, 400 m uzunluğunda, iç çapı 300 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,015 olan bir boruyla birleştirilmiştir. Üst haznenin su yüzeyi alttakinden 19 m yüksektedir. Yerel kayıplar: keskin kenarlı bir giriş (K = 0,5), 3 dirsek (her biri K = 0,3), bir vana (K = 0,2) ve alt hazneye çıkış (K = 1,0). g = 9,81 m/s² kullanın. Debi Q değerini L/s cinsinden bulun.

Δz = 19 mL = 400 mD = 300 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Q = L/s
21.Açık kanal akışı (Manning)Orta
b = 1 my = 1,3 mn = 0,03, S = 0,0008

Dikdörtgen kesitli bir çim kaplı toprak kanal 1 m genişliğinde. Su 1,3 m derinlikte üniform olarak akıyor. Manning n = 0,03 ve taban eğimi S = 0,0008. Debi Q değerini m³/s cinsinden bulun.

b = 1 my = 1,3 mn = 0,03S = 0,0008
Q = m³/s
22.Açık kanal akışı (Manning)Zor
b = 5,5 my = 1,5 m3 : 1n = 0,03, Q = 32 m³/s

Taban genişliği 5,5 m ve şev eğimleri 3:1 (yatay:düşey) olan yamuk kesitli bir çim kaplı toprak kanal 1,5 m derinlikte üniform akışla 32 m³/s taşımalıdır. Manning n = 0,03. Gereken taban eğimi S değerini (m/m cinsinden) bulun.

Q = 32 m³/sb = 5,5 my = 1,5 mz = 3n = 0,03
S = m/m
23.Pompalar ve pompa gücüOrta
PQ = 15 L/sH = 44 m

Verimi %72 olan bir pompa 44 m basma yüksekliğine karşı 15 L/s su (ρ = 1000 kg/m³) basıyor. g = 9,81 m/s² kullanın. Gereken mil gücü Pshaft değerini kW cinsinden bulun.

Q = 15 L/sH = 44 mη = 72%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
24.Pompalar ve pompa gücüZor
PQ = 60 L/sΔz = 11 mL = 300 m, D = 200 mm, f = 0,022, ΣK = 5

Bir pompa 60 L/s suyu (ρ = 1000 kg/m³) açık bir alt hazneden, su yüzeyi 11 m daha yüksekte olan bir üst tanka basıyor. Boru 300 m uzunluğunda, iç çapı 200 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,022; yerel kayıp katsayılarının toplamı ΣK = 5 (giriş ve çıkış dahil). g = 9,81 m/s² kullanın. Pompa verimi %78. Mil gücü Pshaft değerini kW cinsinden bulun.

Q = 60 L/sΔz = 11 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 5η = 78%
Pshaft = kW
25.Paranın zaman değeriOrta
yıl0123€3 000FV = ?

€3 000 tutarını, üç aylık bileşik, yıllık %5 nominal faizle yatırıyorsunuz. 3 yıl sonra yatırımın değeri FV'yi bulun.

PV = €3 0005% / 4n = 3
FV = €
26.Paranın zaman değeriZor
ay0123…240€150 000AAAA2,4% / 12, I = ?

€150 000 tutarındaki bir kredi, aylık bileşik yıllık %2,4 faizle 20 yıl boyunca eşit aylık taksitlerle geri ödeniyor. Kredi süresi boyunca toplam ne kadar faiz I ödenir?

P = €150 0002,4% / 12N = 240
I = €
27.NBD ve IRROrta
yıl01234−20 0007 0006 0009 0009 000

€20 000 tutarındaki bir yatırım 1'den 4'e kadar yılların sonunda şu nakit akışlarını sağlar: €7 000, €6 000, €9 000, €9 000. Sermaye maliyeti %10'tür. Net bugünkü değer NPV'ü bulun.

r = 10%CF0 = −20 000CF1 = 7 000CF2 = 6 000CF3 = 9 000CF4 = 9 000
NPV = €
28.NBD ve IRRZor
yıl012345−25 0008 5008 5008 5008 5008 500

€25 000 tutarındaki bir yatırım 5 yıl boyunca her yılın sonunda €8 500 getiriyor. İç verim oranı IRR değerini yüzde olarak bulun.

C0 = €25 000CF = €8 500n = 5
IRR = %
29.Normal dağılımOrta
70,75103P = ?

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 70,75 ile 103 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 100σ = 15x1 = 70,75x2 = 103
P =
30.Normal dağılımZor
35455565758595puanalt 85%

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %85 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan85%
x = puan

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 52 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

P1​ = 40 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​1,5 m2,5 m1 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·5 = 40·1,5 + 50·4
RB = 260/5 = 52 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 52 = 38 kN

Cevap

RB = 52 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 24,25 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

w = 5 kN/mP = 35 kNABRA​RB​4 m1 m2 m3 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, x̄ = 5,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 35·5 + 5·3·5,5
RB = 257,5/10 = 25,75 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25,75 = 24,25 kN

Cevap

RA = 24,25 kN
3.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 10,31 kN (T), BC: 20,62 kN (T), CD: 20,62 kN (T), DE: 23,44 kN (T), FG: 10,31 kN (C), GH: 23,44 kN (C), AF: 17,19 kN (C), HE: 39,06 kN (C), BF: 13,75 kN (T), CG: 0, DH: 3,75 kN (C), BG: 17,19 kN (C), DG: 4,688 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG
4.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FBC = −18,86 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB50 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·2 − 5·4 → Cy = 13,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 13,33 = 36,67 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −13,33/0,7071 = −18,86 kN

Cevap

FBC = −18,86 kN (basınç)
5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Vx = −10 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 10·5·2,5
RB = 125/5 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 25RB​ = 25kesit3,5 m1,5 m

x = 3,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = RA − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)
Vx = 25 − 10·3,5 = −10 kN

Cevap

Vx = −10 kN
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 82,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·8 = 20·3 + 6·8·4
RB = 252/8 = 31,5 kN
ΣFy = 0: RA = 68 − 31,5 = 36,5 kN
w = 6 kN/mP = 20 kNABRA​ = 36,5RB​ = 31,5kesit3 m5 m

x = 3 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 36,5·3 − 6·3·1,5 = 82,5 kN·m

Cevap

Mx = 82,5 kN·m
7.Kiriş sehimi

Cevap: δP = 73,86 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 26000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Yükün altındaki sehim

δP = Pa³/(3EI) = 26000·1500³/(3·3,96 × 10¹¹) = 73,86 mm

Cevap

δP = 73,86 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·8000⁴/(384·200000·22,22) = 1,44 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 3,515 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2100² = 3515 N = 3,515 kN

Cevap

Pcr = 3,515 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 17,27 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/20 = 200

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Cevap

σcr = 17,27 MPa
11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 53,36 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: Af = 120·25 = 3000 mm², yf = 300 + 25/2 = 312,5 mm
gövde: Aw = 8·300 = 2400 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·312,5 + 2400·150)/5400 = 240,3 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 120·25³/12 + 3000·(312,5 − 240,3)² = 1,58 × 10⁷ mm⁴
gövde: 8·300³/12 + 2400·(150 − 240,3)² = 3,756 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,58 × 10⁷ + 3,756 × 10⁷ = 5,336 × 10⁷ mm⁴ = 53,36 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 53,36 × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Mallow = 2,757 kN·m

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Ağırlık merkezi

ȳ = (4800·175 + 1280·80)/6080 = 155 mm
üst kenar: c = 190 − 155 = 35 mm

Alan atalet momenti

I = 160·30³/12 + 4800·20² + 8·160³/12 + 1280·75² = 1,221 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Pozitif moment: üst basınçta, alt çekmededir.

üst kenar: M = 120·1,221 × 10⁷/35 = 41,87 kN·m
alt kenar: M = 35·1,221 × 10⁷/155 = 2,757 kN·m

Belirleyici değer

Mallow = min = 2,757 kN·m (alt kenar)

Cevap

Mallow = 2,757 kN·m
13.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ′ = 86,38 kPa

Efektif gerilme (Terzaghi): zemin iskeleti σ′ = σ − u taşır. Toplam gerilme σ, noktanın üstündeki her şeyin ağırlığıdır, Σγ·h; su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığı kullanılır. Su seviyesinin altında boşluk suyu basıncı hidrostatiktir: u = γw·(su seviyesinin altındaki derinlik).

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 17·4 + 19·2 = 106 kPa

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γw·(z − zw) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Efektif gerilme

σ′ = σ − u = 106 − 19,62 = 86,38 kPa

Cevap

σ′ = 86,38 kPa
14.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ′ = 84,26 kPa

Efektif gerilme (Terzaghi): zemin iskeleti σ′ = σ − u taşır. Toplam gerilme σ, noktanın üstündeki her şeyin ağırlığıdır, Σγ·h; su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığı kullanılır. Su seviyesinin altında boşluk suyu basıncı hidrostatiktir: u = γw·(su seviyesinin altındaki derinlik).

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γd·3 + γsat,sand·2 + γsat,clay·2
σ = 16,5·3 + 19·2 + 18·2 = 123,5 kPa

Boşluk suyu basıncı

Su basıncı su seviyesinin altındaki derinlikle artar.

u = γw·(z − zw) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Efektif gerilme

σ′ = σ − u = 123,5 − 39,24 = 84,26 kPa

Cevap

σ′ = 84,26 kPa
15.Konsolidasyon oturması

Cevap: S = 12,01 mm

H kalınlığındaki bir kil tabakasının, tabaka ortasındaki efektif gerilme kullanılarak birincil konsolidasyonu: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolide kil: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Aşırı konsolide kil, ön konsolidasyon basıncı σ′p’ye kadar Cr boyunca yeniden sıkışır ve ancak onun ötesinde Cc’yi izler. Süre: t = Tv·Hdr²/cv; drenaj yolu Hdr, su üstten ve alttan çıkabiliyorsa H/2, yalnızca bir taraf drene oluyorsa H’dir.

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

σ′f = 90 + 10 = 100 kPa ≤ 120 kPa

Oturma

Kil yeniden sıkışma doğrusu üzerinde kalır.

S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0,06·7/(1 + 0,6)·log₁₀(100/90) = 12,01 mm

Cevap

S = 12,01 mm
16.Konsolidasyon oturması

Cevap: t = 651 gün

H kalınlığındaki bir kil tabakasının, tabaka ortasındaki efektif gerilme kullanılarak birincil konsolidasyonu: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolide kil: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Aşırı konsolide kil, ön konsolidasyon basıncı σ′p’ye kadar Cr boyunca yeniden sıkışır ve ancak onun ötesinde Cc’yi izler. Süre: t = Tv·Hdr²/cv; drenaj yolu Hdr, su üstten ve alttan çıkabiliyorsa H/2, yalnızca bir taraf drene oluyorsa H’dir.

Drenaj yolları

Hdr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m
Hdr,field = 2,5 m

Süreyi ölçekleyin

Laboratuvarda ve arazide aynı Tv ve cv ile t = T_v·Hdr²/cv.

tfield = 15·(2,5/0,01)² = 937500 min
tfield = 937500/1440 = 651 gün

Cevap

t = 651 gün
17.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 121,4 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·yc·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, ycp = yc + Ic/(ycA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
kapakd = 2 mH = 1,5 mF

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·4,5 = 121,4 kN

Cevap

F = 121,4 kN
18.Hidrostatik kuvvet

Cevap: ycp = 1,083 m

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·yc·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, ycp = yc + Ic/(ycA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
kapakd = 0,5 mH = 1 mF

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1·2 = 24,72 kN

Basınç merkezi

Basınç derinlikle arttığından bileşke ağırlık merkezinin altında etkir.

Ic = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1 + 0,1667/(1·2) = 1,083 m

Cevap

ycp = 1,083 m
19.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: Δp = 19,04 kPa

Boru akışı: Reynolds sayısı Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ, laminer akışı (Re yaklaşık 2000’in altında) türbülanslı akıştan (yaklaşık 4000’in üstünde) ayırır. Boru boyunca sürtünme, Darcy–Weisbach yük kaybına hf = f·(L/D)·V²/(2g) yol açar. Bağlantı parçaları, vanalar, giriş ve çıkış yerel kayıplar hm = ΣK·V²/(2g) ekler. İki açık hazne yüzeyi arasında enerji denklemi, çıkış kaybı K = 1 dahil, Δz = hf + hm verir.

Yük kaybı

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(100/0,25)·2,3²/(2·9,81) = 1,941 m

Basınç düşüşü

Boru yataydır ve hız değişmez, bu yüzden enerji denklemi Δp = ρ·g·hf’ye indirgenir.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·1,941 = 19044 Pa = 19,04 kPa

Cevap

Δp = 19,04 kPa
20.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: Q = 287,1 L/s

Boru akışı: Reynolds sayısı Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ, laminer akışı (Re yaklaşık 2000’in altında) türbülanslı akıştan (yaklaşık 4000’in üstünde) ayırır. Boru boyunca sürtünme, Darcy–Weisbach yük kaybına hf = f·(L/D)·V²/(2g) yol açar. Bağlantı parçaları, vanalar, giriş ve çıkış yerel kayıplar hm = ΣK·V²/(2g) ekler. İki açık hazne yüzeyi arasında enerji denklemi, çıkış kaybı K = 1 dahil, Δz = hf + hm verir.

Kayıp katsayıları

f·L/D = 0,015·400/0,3 = 20
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Enerji denklemi

İki yüzey de havaya açıktır ve pratikte durgundur, bu yüzden Δz’nin tamamı boruda kaybolur.

19 = (20 + 2,6)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·19/22,6) = 4,061 m/s

Debi

Q = V·π·D²/4 = 4,061·0,07069 = 0,2871 m³/s = 287,1 L/s

Cevap

Q = 287,1 L/s
21.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: Q = 0,6215 m³/s

Manning denklemi (SI): açık kanalda üniform akış için V = (1/n)·R2/3·S1/2 ve Q = A·V; burada n pürüzlülük katsayısı, S taban eğimi (m/m) ve R = A/P hidrolik yarıçaptır: akış alanı bölü ıslak çevre. P’ye serbest yüzey değil, yalnızca suyla temas eden sınır dahil edilir. Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y. Şev eğimi z:1 (yatay:düşey) olan yamuk: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Tam veya yarı dolu akan dairesel bir boruda R = D/4’tür.

Geometri

A = b·y = 1·1,3 = 1,3 m²
P = b + 2y = 1 + 2·1,3 = 3,6 m
R = A/P = 0,3611 m

Hız

V = (1/0,03)·0,36112/3·0,00081/2 = 0,4781 m/s

Debi

Q = A·V = 1,3·0,4781 = 0,6215 m³/s

Cevap

Q = 0,6215 m³/s
22.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: S = 0,004091 m/m

Manning denklemi (SI): açık kanalda üniform akış için V = (1/n)·R2/3·S1/2 ve Q = A·V; burada n pürüzlülük katsayısı, S taban eğimi (m/m) ve R = A/P hidrolik yarıçaptır: akış alanı bölü ıslak çevre. P’ye serbest yüzey değil, yalnızca suyla temas eden sınır dahil edilir. Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y. Şev eğimi z:1 (yatay:düşey) olan yamuk: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Tam veya yarı dolu akan dairesel bir boruda R = D/4’tür.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 3·1,5)·1,5 = 15 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1,5·√(1 + 3²) = 14,99 m
R = A/P = 1,001 m

Manning’i S için çözün

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·32/(15·1,001) = 0,06396
S = 0,06396² = 0,004091

Cevap

S = 0,004091

Bu, kilometrede 4,091 m düşü demektir.

23.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: Pshaft = 8,993 kW

Pompa gücü: suya verilen güç hidrolik güç Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp’dir. Pompada kayıplar olduğu için mil daha fazlasını vermelidir: Pshaft = Ph/ηpump; motor ise Pel = Pshaft/ηmotor çeker. Pompa basma yüksekliği H enerji denkleminden bulunur: statik yükseklik + basınç yüksekliği + tüm sürtünme ve yerel kayıplar.

Hidrolik güç

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·44 = 6,475 kW

Mil gücü

Pshaft = Ph/η = 6,475/0,72 = 8,993 kW

Cevap

Pshaft = 8,993 kW
24.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: Pshaft = 13,63 kW

Pompa gücü: suya verilen güç hidrolik güç Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp’dir. Pompada kayıplar olduğu için mil daha fazlasını vermelidir: Pshaft = Ph/ηpump; motor ise Pel = Pshaft/ηmotor çeker. Pompa basma yüksekliği H enerji denkleminden bulunur: statik yükseklik + basınç yüksekliği + tüm sürtünme ve yerel kayıplar.

Hız

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m

Yük kayıpları

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 5)·0,1859 = 7,065 m

Pompa basma yüksekliği

H = Δz + hL = 11 + 7,065 = 18,06 m

Mil gücü

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·18,06/0,78 = 13,63 kW

Cevap

Pshaft = 13,63 kW
25.Paranın zaman değeri

Cevap: FV = 3482 €

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)n olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Oran ve dönem sayısı

i = r/m = 0,05/4 = 0,0125
N = m·n = 4·3 = 12

Gelecek değer

FV = 3 000·(1 + 0,0125)12 = 3 000·1,161 = €3 482,26

Cevap

FV = €3 482,26
26.Paranın zaman değeri

Cevap: I = 39016 €

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)n olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Aylık taksit

i = 0,002, N = 240
A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−240) = €787,57

Toplam faiz

I = N·A − P = 240·787,6 − 150 000 = €39 016,11

Cevap

I = €39 016,11
27.NBD ve IRR

Cevap: NPV = 4231 €

Net bugünkü değer: her nakit akışını gerekli getiri oranı r ile bugüne indirgeyin ve toplayın: NBD = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NBD > 0 olan proje r'den fazla kazandırır ve değer yaratır. İç verim oranı (IRR), NBD = 0 yapan orandır.

Her nakit akışının bugünkü değeri

CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 7 000/1,1 = 6 363,64
CF2/(1 + 0,1)2 = 6 000/1,21 = 4 958,68
CF3/(1 + 0,1)3 = 9 000/1,331 = 6 761,83
CF4/(1 + 0,1)4 = 9 000/1,464 = 6 147,12

Toplayın

NPV = €4 231,27

Cevap

NPV = €4 231,27

NBD pozitif, yani proje gerekli getiriden fazlasını kazandırır.

28.NBD ve IRR

Cevap: IRR = 20,76 %

Net bugünkü değer: her nakit akışını gerekli getiri oranı r ile bugüne indirgeyin ve toplayın: NBD = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NBD > 0 olan proje r'den fazla kazandırır ve değer yaratır. İç verim oranı (IRR), NBD = 0 yapan orandır.

Gerekli anüite faktörü

(1 − (1 + i)−5)/i = 25 000/8 500 = 2,941

Oranı çözün

Oran arttıkça anüite faktörü azalır; oranı iki değer arasına alın ve aralığı daraltın.

i = 20%: 2,991
i = 21%: 2,926
IRR = 20,76%

Cevap

IRR = 20,76%
29.Normal dağılım

Cevap: P = 0,5537

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95
z₂ = (103 − 100)/15 = 0,2

Aradaki alan

P = Φ(0,2) − Φ(−1,95) = 0,5793 − 0,02559 = 0,5537

Cevap

P = 0,5537
30.Normal dağılım

Cevap: x = 75,4 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,85

Tablodan z

z ≈ 1,04

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 + 1,04·10 = 75,4 puan

Cevap

x = 75,4 puan

Bu bağımsız bir alıştırma materyalidir. ExamProblems bu sınavı düzenleyen kuruluşla bağlantılı değildir ve onun tarafından onaylanmamıştır; sınav adı yalnızca içeriği tanımlamak için kullanılmaktadır. FE exam sınavı NCEES tarafından yürütülür; bu kuruluş ExamProblems ile bağlantılı değildir ve onu desteklemez.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil