FE Civil sınav hazırlığı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 30 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Zeminde efektif gerilme

Toplam gerilme: σ = Σγ_i·h_i
Boşluk suyu basıncı: u = γ_w·(z − z_w)
Efektif gerilme: σ′ = σ − u
Su: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidasyon oturması

Normal konsolide: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Son gerilme: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Aşırı konsolide, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Aşırı konsolide, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Aşırı konsolidasyon oranı: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidasyon süresi: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenaj yolu: H_dr = H/2 (çift yönlü drenaj), H (tek yönlü drenaj)
Zaman faktörleri: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatik kuvvet

Derinlikteki basınç: p = ρgh
Düşey duvara etkiyen kuvvet: F = ρg·h_c·A
Basınç merkezi: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Dikdörtgen: I_c = bH³/12

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Reynolds sayısı: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Akış rejimi: Re ≈ 2000’in altında laminer, Re ≈ 4000’in üstünde türbülanslı
Ortalama hız: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Yerel kayıplar: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipik K değerleri: giriş 0,5, çıkış 1,0, 90° dirsek ≈ 0,3
Basınç düşüşü: Δp = ρ·g·h_f
İki açık hazne: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Serbest çıkış: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Açık kanal akışı (Manning)

Manning denklemi: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debi: Q = A·V
Hidrolik yarıçap: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y
Yamuk (şev eğimi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Dairesel boru, tam veya yarı dolu: R = D/4
Gerekli eğim: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompalar ve pompa gücü

Hidrolik güç: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Mil gücü: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrik gücü: P_el = P_shaft/η_motor
Pompa basma yüksekliği: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistem kayıpları: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Paranın zaman değeri

Gelecek değer: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Bugünkü değer: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Yılda birden çok dönem: i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anüite, gelecek değer: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Yöntem

Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

NBD ve IRR

Net bugünkü değer: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Eşit nakit akışları: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
İç verim oranı: NPV = 0 yapan r
Karar: NPV > 0 ise (veya IRR > gerekli getiri) kabul et

Yöntem

Tüm nakit akışlarını yıllarıyla listeleyin; 0. yıldaki yatırım negatiftir.
Her nakit akışını iskonto edin: CF_t/(1 + r)^t.
NBD’yi bulmak için toplayın. Pozitif değer, projenin r’den fazla kazandırdığı anlamına gelir.
İVO için NBD’yi sıfır yapan oranı deneme yoluyla veya enterpolasyonla bulun.

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 5 mP₁ = 30 kN @ 2 mP₂ = 40 kN @ 4 m

R_B = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvarda 4 kN/m olan ve serbest uç B’de sıfıra azalan doğrusal değişen bir yük ile duvardan 3 m uzaklıkta bir P tekil yükü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü M_A değerini bulun.

L = 10 mw₀ = 4 kN/mP = 40 kN @ 3 m

M_A = kN·m

3.Kafes: düğüm yöntemiOrta

BC çubuğundaki F_BC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 2 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 20 kN

F_BC = kN

4.Kafes: düğüm yöntemiZor

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 25 kN ↓D: 10 kN ↓F: 10 kN ↓G: 35 kN ↓H: 25 kN ↓H: 10 kN ←

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12BG elemanı
13DG elemanı

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 2,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mw = 3 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

30 kN @ 12 m50 kN @ 4 m6 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Dairesel bir borunun dış çapı D = 240 mm ve iç çapı d = 232 mm’tür. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

D = 240 mmd = 232 mm

r = mm

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 50 MPa, basınçta 90 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük negatif eğilme momenti M_allow değerini bulun (büyüklüğünü verin).

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

13.Zeminde efektif gerilmeOrta

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki toplam düşey gerilme σ değerini bulun.

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 15 kN/m³kum: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

14.Zeminde efektif gerilmeZor

Gösterilen zemin profili için X noktasındaki toplam düşey gerilme σ değerini bulun.

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³kum: γ_d = 15,5 kN/m³kum: γ_sat = 19,5 kN/m³kil: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

15.Konsolidasyon oturmasıOrta

2 m kalınlığındaki aşırı konsolide bir kil tabakasının C_c = 0,5, C_r = 0,05 ve e₀ = 0,8. Orta derinliğindeki efektif düşey gerilme 45 kPa ve ön konsolidasyon basıncı 75 kPa’dır. Yeni bir bina orta derinlikte 140 kPa düşey gerilme ekliyor. Birincil konsolidasyon oturması S değerini mm cinsinden bulun.

H = 2 mC_c = 0,5C_r = 0,05e₀ = 0,8σ′₀ = 45 kPaσ′_p = 75 kPaΔσ = 140 kPa

S = mm

16.Konsolidasyon oturmasıZor

6,5 m kalınlığındaki bir kil tabakasının konsolidasyon katsayısı c_v = 1,5 m²/yıl. Üstünde kum bulunan geçirimsiz kaya üzerinde durur, bu yüzden su yalnızca üstten drene olur. %70 ortalama konsolidasyon için zaman faktörü T_v = 0,403. Tabakanın %70 konsolidasyona ulaşması kaç yıl t sürer?

H = 6,5 mc_v = 1,5 m²/yılU = 70%T_v = 0,403tek yönlü drenaj

t = yıl

17.Hidrostatik kuvvetOrta

1 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, su dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 2 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatik kuvvetZor

1 m genişliğinde düşey dikdörtgen bir kapak, yağ dolu bir tankın duvarında, üst kenarı yüzeyin 2 m altında bulunuyor. Kapağa etkiyen bileşke hidrostatik kuvvet F değerini bulun.

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybıOrta

Su (ρ = 1000 kg/m³), 300 m uzunluğunda ve iç çapı 50 mm olan yatay bir borudan 2,5 m/s hızla akıyor. Darcy sürtünme faktörü f = 0,022 ve g = 9,81 m/s² kullanın. Boru boyunca basınç düşüşü Δp değerini kPa cinsinden bulun.

V = 2,5 m/sL = 300 mD = 50 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybıZor

100 m uzunluğunda, iç çapı 250 mm (Darcy sürtünme faktörü f = 0,022) olan bir boru açık bir hazneden çıkıyor ve havaya serbest jet olarak boşalıyor. Yerel kayıplar: keskin kenarlı bir giriş (K = 0,5), 3 dirsek (her biri K = 0,3) ve bir vana (K = 10). g = 9,81 m/s² kullanın. 100 L/s debi için hazne yüzeyi boru çıkışının ne kadar H üstünde olmalıdır?

Q = 100 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10

H = m

21.Açık kanal akışı (Manning)Orta

Yamuk kesitli bir perdahsız beton kanalın taban genişliği 6 m ve şev eğimleri 3:1 (yatay:düşey). Su 2,2 m derinlikte üniform olarak akıyor. Manning n = 0,014 ve taban eğimi S = 0,001. Debi Q değerini m³/s cinsinden bulun.

b = 6 my = 2,2 mz = 3n = 0,014S = 0,001

Q = m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)Zor

Taban genişliği 3 m ve şev eğimleri 2:1 (yatay:düşey) olan yamuk kesitli bir perdahsız beton kanal 0,8 m derinlikte üniform akışla 9,8 m³/s taşımalıdır. Manning n = 0,014. Gereken taban eğimi S değerini (m/m cinsinden) bulun.

Q = 9,8 m³/sb = 3 my = 0,8 mz = 2n = 0,014

S = m/m

23.Pompalar ve pompa gücüOrta

Verimi %60 olan bir pompa 64 m basma yüksekliğine karşı 10 L/s su (ρ = 1000 kg/m³) basıyor. g = 9,81 m/s² kullanın. Gereken mil gücü P_shaft değerini kW cinsinden bulun.

Q = 10 L/sH = 64 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pompalar ve pompa gücüZor

Bir pompa 120 L/s suyu (ρ = 1000 kg/m³) açık bir alt hazneden, su yüzeyi 5 m daha yüksekte olan bir üst tanka basıyor. Boru 300 m uzunluğunda, iç çapı 250 mm ve Darcy sürtünme faktörü f = 0,02; yerel kayıp katsayılarının toplamı ΣK = 2,5 (giriş ve çıkış dahil). g = 9,81 m/s² kullanın. Pompanın eklemesi gereken basma yüksekliği H değerini bulun.

Q = 120 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 2,5

H = m

25.Paranın zaman değeriOrta

€5 000 tutarını, üç aylık bileşik, yıllık %3,6 nominal faizle yatırıyorsunuz. 10 yıl sonra yatırımın değeri FV'yi bulun.

PV = €5 0003,6% / 4n = 10

FV = €

26.Paranın zaman değeriZor

25 yıl boyunca her yılın başında €6 000 yatırıyorsunuz, ilk yatırım bugün. Hesap yıllık %7 faiz veriyor. 25. yılın sonunda hesapta ne kadar vardır? FV değerini bulun.

A = €6 000i = 7%n = 25

FV = €

27.NBD ve IRROrta

Bir proje bugün €30 000 maliyetindedir ve 4 yıl boyunca her yılın sonunda €9 000 getirir. Sermaye maliyeti %6. Nakit akışlarının her yıl boyunca eşit geldiğini varsayın. İskontolu geri ödeme süresi DPB değerini yıl cinsinden bulun.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 000CF₂ = 9 000CF₃ = 9 000CF₄ = 9 000

DPB = yıl

28.NBD ve IRRZor

Bir proje €25 000 tutarındadır ve 1'den 2'ye kadar yılların sonunda €16 000, €10 500 getirir. İç verim oranı IRR'ü yüzde olarak bulun.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 000CF₂ = 10 500

IRR = %

29.Normal dağılımOrta

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 454 ile 562 h arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 500σ = 40x₁ = 454x₂ = 562

P =

30.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %5 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan5%

x = puan

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 44 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·2 + 40·4

R_B = 220/5 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 44 = 26 kN

Cevap

R_B = 44 kN

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: M_A = 186,7 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir R_A tepkisi ve bir M_A tepki momenti verir. ΣF_y = 0, R_A’yı; duvara göre momentler M_A = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·4·10 = 20 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Duvara göre moment

M_A = W·x̄ + P·a = 20·3,333 + 40·3 = 186,7 kN·m

Cevap

M_A = 186,7 kN·m

3.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_BC = −9,014 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·1 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 5 = 15 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0,5547 = −9,014 kN

Cevap

F_BC = −9,014 kN (basınç)

4.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 62,5 kN (T), BC: 88,33 kN (T), CD: 88,33 kN (T), DE: 67,5 kN (T), FG: 72,5 kN (C), GH: 77,5 kN (C), AF: 90,63 kN (C), HE: 84,37 kN (C), BF: 44,38 kN (T), CG: 0, DH: 25,63 kN (T), BG: 32,29 kN (C), DG: 26,04 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 5,625 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

x = 2,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 6·2,5 − 3·2,5·1,25 = 5,625 kN·m

Cevap

M_x = 5,625 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: C (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 54 kN, R₂ = 86 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 96, M_C = 168 kN·m, M_D = 116, M_E = 40, M_F = −60, M_G = 0

Cevap

İşaret C: M_C = 168 kN·m

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 52,41 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 52,41 mm

Cevap

δ_max = 52,41 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 50,22 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·5000⁴/(384·70000·13,89) = 5,022 × 10⁷ mm⁴

I_req = 50,22 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 50,22 × 10⁶ mm⁴

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 113,3 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1400² = 113299 N = 113,3 kN

Cevap

P_cr = 113,3 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 38,86 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Cevap

σ_cr = 38,86 MPa

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 83,45 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

A = π(D² − d²)/4 = 2966 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,065 × 10⁷ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(2,065 × 10⁷/2966) = 83,45 mm

Cevap

r = 83,45 mm

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 17,33 kN·m

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Ağırlık merkezi

ȳ = (2400·227,5 + 3080·110)/5480 = 161,5 mm

üst kenar: c = 235 − 161,5 = 73,54 mm

Alan atalet momenti

I = 160·15³/12 + 2400·66,04² + 14·220³/12 + 3080·51,46² = 3,109 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Negatif moment: üst çekmede, alt basınçtadır.

üst kenar: M = 50·3,109 × 10⁷/73,54 = 21,14 kN·m

alt kenar: M = 90·3,109 × 10⁷/161,5 = 17,33 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 17,33 kN·m (alt kenar)

Cevap

M_allow = 17,33 kN·m

13.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ = 115 kPa

Efektif gerilme (Terzaghi): zemin iskeleti σ′ = σ − u taşır. Toplam gerilme σ, noktanın üstündeki her şeyin ağırlığıdır, Σγ·h; su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığı kullanılır. Su seviyesinin altında boşluk suyu basıncı hidrostatiktir: u = γ_w·(su seviyesinin altındaki derinlik).

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·1 + 20·5 = 115 kPa

Cevap

σ = 115 kPa

14.Zeminde efektif gerilme

Cevap: σ = 122,5 kPa

Toplam gerilme

X’in üstündeki her zemin bandının ağırlığını toplayın. Su seviyesinin üstünde kuru, altında doygun birim hacim ağırlığını kullanın.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2

σ = 15,5·3 + 19,5·2 + 18,5·2 = 122,5 kPa

Cevap

σ = 122,5 kPa

15.Konsolidasyon oturması

Cevap: S = 230,2 mm

H kalınlığındaki bir kil tabakasının, tabaka ortasındaki efektif gerilme kullanılarak birincil konsolidasyonu: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normal konsolide kil: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Aşırı konsolide kil, ön konsolidasyon basıncı σ′_p’ye kadar C_r boyunca yeniden sıkışır ve ancak onun ötesinde C_c’yi izler. Süre: t = T_v·H_dr²/c_v; drenaj yolu H_dr, su üstten ve alttan çıkabiliyorsa H/2, yalnızca bir taraf drene oluyorsa H’dir.

Ön konsolidasyon basıncıyla karşılaştırın

σ′_f = 45 + 140 = 185 kPa > 75 kPa

Oturma

σ′_p’ye kadar yeniden sıkışma, ötesinde bakir sıkışma.

S = 0,05·2/(1 + 0,8)·log₁₀(75/45) + 0,5·2/(1 + 0,8)·log₁₀(185/75)

S = 12,32 + 217,8 = 230,2 mm

Cevap

S = 230,2 mm

16.Konsolidasyon oturması

Cevap: t = 11,35 yıl

Drenaj yolu

H_dr = H = 6,5 m

Süre

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·6,5²/1,5 = 11,35 yıl

Cevap

t = 11,35 yıl

17.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 103 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN

Cevap

F = 103 kN

18.Hidrostatik kuvvet

Cevap: F = 51,8 kN

Düzlem yüzeye hidrostatik kuvvet: F = ρ·g·y_c·A. Her zaman ağırlık merkezinin altında bulunan basınç merkezinde, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), etkir.

Ağırlık merkezi derinliği ve alan

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Bileşke kuvvet

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3·2 = 51,8 kN

Cevap

F = 51,8 kN

19.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: Δp = 412,5 kPa

Boru akışı: Reynolds sayısı Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ, laminer akışı (Re yaklaşık 2000’in altında) türbülanslı akıştan (yaklaşık 4000’in üstünde) ayırır. Boru boyunca sürtünme, Darcy–Weisbach yük kaybına h_f = f·(L/D)·V²/(2g) yol açar. Bağlantı parçaları, vanalar, giriş ve çıkış yerel kayıplar h_m = ΣK·V²/(2g) ekler. İki açık hazne yüzeyi arasında enerji denklemi, çıkış kaybı K = 1 dahil, Δz = h_f + h_m verir.

Yük kaybı

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(300/0,05)·2,5²/(2·9,81) = 42,05 m

Basınç düşüşü

Boru yataydır ve hız değişmez, bu yüzden enerji denklemi Δp = ρ·g·h_f’ye indirgenir.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·42,05 = 412500 Pa = 412,5 kPa

Cevap

Δp = 412,5 kPa

20.Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Cevap: H = 4,484 m

Hız

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Kayıp katsayıları

f·L/D = 0,022·100/0,25 = 8,8

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

Enerji denklemi

Çıkış jeti hız yüksekliğini hâlâ taşır; bu bir kayıp değildir ama sağlanması gerekir.

H = (1 + 8,8 + 11,4)·0,2115 = 4,484 m

Cevap

H = 4,484 m

21.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: Q = 78,06 m³/s

Manning denklemi (SI): açık kanalda üniform akış için V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ve Q = A·V; burada n pürüzlülük katsayısı, S taban eğimi (m/m) ve R = A/P hidrolik yarıçaptır: akış alanı bölü ıslak çevre. P’ye serbest yüzey değil, yalnızca suyla temas eden sınır dahil edilir. Dikdörtgen: A = b·y, P = b + 2y. Şev eğimi z:1 (yatay:düşey) olan yamuk: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Tam veya yarı dolu akan dairesel bir boruda R = D/4’tür.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·2,2)·2,2 = 27,72 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2,2·√(1 + 3²) = 19,91 m

R = A/P = 1,392 m

Hız

V = (1/0,014)·1,392^2/3·0,001^1/2 = 2,816 m/s

Debi

Q = A·V = 27,72·2,816 = 78,06 m³/s

Cevap

Q = 78,06 m³/s

22.Açık kanal akışı (Manning)

Cevap: S = 0,003015 m/m

Geometri

A = (b + z·y)·y = (3 + 2·0,8)·0,8 = 3,68 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·0,8·√(1 + 2²) = 6,578 m

R = A/P = 0,5595 m

Manning’i S için çözün

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·9,8/(3,68·0,679) = 0,05491

S = 0,05491² = 0,003015

Cevap

S = 0,003015

Bu, kilometrede 3,015 m düşü demektir.

23.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: P_shaft = 10,46 kW

Pompa gücü: suya verilen güç hidrolik güç P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp’dir. Pompada kayıplar olduğu için mil daha fazlasını vermelidir: P_shaft = P_h/η_pump; motor ise P_el = P_shaft/η_motor çeker. Pompa basma yüksekliği H enerji denkleminden bulunur: statik yükseklik + basınç yüksekliği + tüm sürtünme ve yerel kayıplar.

Hidrolik güç

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·64 = 6,278 kW

Mil gücü

P_shaft = P_h/η = 6,278/0,6 = 10,46 kW

Cevap

P_shaft = 10,46 kW

24.Pompalar ve pompa gücü

Cevap: H = 13,07 m

Hız

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Yük kayıpları

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 2,5)·0,3046 = 8,072 m

Pompa basma yüksekliği

İki yüzey de açıktır ve pratikte durgundur, bu yüzden basınç ve hız terimleri düşer.

H = Δz + h_L = 5 + 8,072 = 13,07 m

Cevap

H = 13,07 m

25.Paranın zaman değeri

Cevap: FV = 7155 €

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)ⁿ olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Oran ve dönem sayısı

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·10 = 40

Gelecek değer

FV = 5 000·(1 + 0,009)⁴⁰ = 5 000·1,431 = €7 155,12

Cevap

FV = €7 155,12

26.Paranın zaman değeri

Cevap: FV = 406059 €

Normal anüite faktörü

((1 + 0,07)²⁵ − 1)/0,07 = 63,25

Peşin anüite

Her yatırım bir yıl daha uzun süre yatırımda kalır.

FV = 6 000·63,25·1,07 = €406 058,82

Cevap

FV = €406 058,82

27.NBD ve IRR

Cevap: DPB = 3,834 yıl

Geri ödeme süresi: birikimli nakit akışlarının ilk yatırımı karşılamasına kadar geçen süre. Nakdin her yıl boyunca eşit geldiği varsayılır, bu yüzden son kısım bir yılın kesridir. Basit geri ödeme süresi paranın zaman değerini göz ardı eder; iskontolu geri ödeme süresi ise iskonto edilmiş nakit akışlarını kullanır.

İskonto edilmiş ve birikimli nakit akışları

yıl 1: 9 000/1,06 = 8 490,57 → Σ = 8 490,57

yıl 2: 9 000/1,124 = 8 009,97 → Σ = 16 500,53

yıl 3: 9 000/1,191 = 7 556,57 → Σ = 24 057,11

yıl 4: 9 000/1,262 = 7 128,84 → Σ = 31 185,95

Son yılın kesri

DPB = 3 + 5 942,89/7 128,84 = 3,834

Cevap

DPB = 3,834 yıl

İskontolu geri ödeme süresi her zaman basit geri ödeme süresinden (3,333 yıl) uzundur.

28.NBD ve IRR

Cevap: IRR = 4,277 %

Net bugünkü değer: her nakit akışını gerekli getiri oranı r ile bugüne indirgeyin ve toplayın: NBD = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NBD > 0 olan proje r'den fazla kazandırır ve değer yaratır. İç verim oranı (IRR), NBD = 0 yapan orandır.

IRR'yi iki taraftan sınırlayın

Oran arttıkça NBD azalır; bu yüzden IRR, pozitif NBD veren oran ile negatif NBD veren oran arasındadır.

NPV(0%) = 1 500,00

NPV(5%) = −238,10

Daraltın

Doğrusal enterpolasyon ilk tahmini verir; tekrarlamak (ya da hesap makinesinin IRR işlevi) kesin oranı verir.

IRR ≈ 0 + 5·1 500,00/(1 500,00 − (−238,10)) = 4,315%

kesin: NPV(4,277%) = 0 → IRR = 4,277%

Cevap

IRR = 4,277%

29.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8144

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (454 − 500)/40 = −1,15

z₂ = (562 − 500)/40 = 1,55

Aradaki alan

P = Φ(1,55) − Φ(−1,15) = 0,9394 − 0,1251 = 0,8144

Cevap

P = 0,8144

30.Normal dağılım

Cevap: x = 81,4 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,95

Tablodan z

z ≈ 1,64

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 + 1,64·10 = 81,4 puan

Cevap

x = 81,4 puan

Bu bağımsız bir alıştırma materyalidir. ExamProblems bu sınavı düzenleyen kuruluşla bağlantılı değildir ve onun tarafından onaylanmamıştır; sınav adı yalnızca içeriği tanımlamak için kullanılmaktadır. FE exam sınavı NCEES tarafından yürütülür; bu kuruluş ExamProblems ile bağlantılı değildir ve onu desteklemez.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil