Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
960 rpm ile çalışan 5,5 kW’lık bir motor, 30 dişli ve 3 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet Ft değerini bulun.
P = 5,5 kWn = 960 rpmN1 = 30m = 3 mm
Ft = N
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Bileşik bir dişli dizisinde, 960 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (36 diş) B dişlisini (40 diş) döndürüyor. C dişlisi (18 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (30 diş) döndürüyor. Çıkış hızı nout değerini bulun.
nin = 960 rpmA = 36B = 40C = 18D = 30
nout = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 400 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
İçi boş bir mil 1000 dev/dk’da 50 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
P = 50 kWN = 1000 rpmdo = 60 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 0 MPa, σᵧ = 30 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
σx = 0 MPaσy = 30 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 120 MPa, σᵧ = 60 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 30° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = 120 MPaσy = 60 MPaτxy = 20 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 50 mm, E = 110 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 400 mm’dir ve rijit levhalar arasında 50 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.
P = 50 kNçubuk: Ø40 mm, E = 200 GPaboru: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.
P = 60 kNparça 1: Ø35 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø12 mm, 2 m, bakır (E = 117 GPa)
δ = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 1 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 90 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 90 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
200 kg’lık bir kütle, rijitliği 40 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 2830 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 200 kgk = 40 kN/mc = 2830 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
10 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 80 kN/m ve k₂ = 10 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 10 kgk1 = 80 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: Ft = 1216 N
Dişli geometrisi: m modülü diş boyutunu belirler. N dişli bir dişlinin bölüm dairesi çapı d = m·N’dir, birbirine geçen iki dişlinin modülü aynıdır ve eksenler arası mesafeleri a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2’dir. Bölüm dairesi hızı v = π·d·n/60’tır ve teğetsel diş kuvveti torktan bulunur: Ft = 2T/d.
Pinyondaki tork
ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T = P/ω = 5500/100,5 = 54,71 N·m
Bölüm dairesi çapı
d = m·N = 3·30 = 90 mm
Teğetsel kuvvet
Ft = 2T/d = 2·54,71/0,09 = 1216 N
Cevap
Ft = 1216 N
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: nout = 518,4 rpm
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Birinci kademe
nB = 960·36/40 = 864 rpm = nC
İkinci kademe
nout = 864·18/30 = 518,4 rpm
Cevap
nout = 518,4 rpm
toplam oran = 1,852 : 1
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 3,603 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(80000·79522) = 0,06288 rad
φ = 0,06288·180/π = 3,603°
Cevap
φ = 3,603°
4.Millerin burulması
Cevap: τmax = 12,01 MPa
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m
Polar atalet momenti
J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴
En büyük kayma gerilmesi
τmax = T·(do/2)/J = 477465·30/1,193 × 10⁶ = 12,01 MPa
Cevap
τmax = 12,01 MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 18,03 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Mohr dairesinin yarıçapı
τmax = R = √(((0 − 30)/2)² + 10²) = 18,03 MPa
Cevap
τmax = 18,03 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = 122,3 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = 90 + 30·0,5 + 20·0,866 = 122,3 MPa
Cevap
σθ = 122,3 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 0,034 mm
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Alanlar
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
Birleşik eksenel rijitlik
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·3063 = 5,883 × 10⁸ N
Kısalma
δ = 50000·400/5,883 × 10⁸ = 0,034 mm
Cevap
δ = 0,034 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 9,38 mm
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 62,36 MPa
σ2 = 530,5 MPa
Parça uzamalarını toplayın
δ1 = σ1L1/E1 = 62,36·1000/200000 = 0,3118 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 530,5·2000/117000 = 9,069 mm
δ = δ1 + δ2 = 9,38 mm
Cevap
δ = 9,38 mm
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 64,26 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 2·1000 = 2000 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/2000² = 64255 N = 64,26 kN
Cevap
Pcr = 64,26 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 95,62 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2,5·90000 = 225000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 95,62 mm
Cevap
d = 95,62 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 251, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,5003
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(40000·200) = 5657 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 2830/5657 = 0,5003
Cevap
ζ = 0,5003
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 15,1 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.
keq = 80 + 10 = 90 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(90000/10) = 94,87 rad/s
fn = 94,87/(2π) = 15,1 Hz
Cevap
fn = 15,1 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design