Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
Bir kayış, 1500 rpm ile dönen 150 mm’lik bir tahrik kasnağı üzerinde çalışıyor. Gergin tarafta çekme kuvveti 1200 N, gevşek tarafta 600 N. İletilen gücü P kW cinsinden bulun.
d1 = 150 mmn1 = 1500 rpmT1 = 1200 NT2 = 600 N
P = kW
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Açık bir kayış, merkezleri 500 mm arayla duran 150 mm’lik ve 250 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.
d1 = 150 mmd2 = 250 mmC = 500 mm
θ = °
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 750 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
İçi boş bir mil 750 dev/dk’da 100 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
P = 100 kWN = 750 rpmdo = 75 mmdi = 60 mm
τmax = MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Bir noktada σₓ = 20 MPa, σᵧ = −20 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 40° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σy′ değerini bulun.
σx = 20 MPaσy = −20 MPaτxy = −30 MPaθ = 40°
σy′ = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −70 MPa, σᵧ = −20 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 40° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = −70 MPaσy = −20 MPaτxy = −20 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 50 mm, E = 110 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 600 mm’dir ve rijit levhalar arasında 100 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.
P = 100 kNçubuk: Ø40 mm, E = 200 GPaboru: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 600 mm
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.
P = 90 kNparça 1: Ø25 mm, 1,5 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 10 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 10 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
40 kg’lık bir kütle, rijitliği 10 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 60 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 40 kgk = 10 kN/mc = 60 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
5 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 50 kN/m ve k₂ = 60 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 5 kgk1 = 50 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: P = 7,069 kW
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Kayış hızı
v = 11,78 m/s
Güç
P = (1200 − 600)·11,78 = 7069 W = 7,069 kW
Cevap
P = 7,069 kW
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: θ = 168,5 °
Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = eμθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.
Kayış açısı
asin(0,1) = 5,739°
Sarılma açısı
θ = 180 − 2·5,739 = 168,5°
Cevap
θ = 168,5°
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 0,4377 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(80000·613592) = 0,007639 rad
φ = 0,007639·180/π = 0,4377°
Cevap
φ = 0,4377°
4.Millerin burulması
Cevap: τmax = 26,03 MPa
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m
Polar atalet momenti
J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴
En büyük kayma gerilmesi
τmax = T·(do/2)/J = 1,273 × 10⁶·37,5/1,834 × 10⁶ = 26,03 MPa
Cevap
τmax = 26,03 MPa
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σy′ = 26,07 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
y′ yüzü için dönüşüm denklemi
σy′ = 0 − 20·0,1736 − (−30)·0,9848 = 26,07 MPa
Kontrol
Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.
σx′ = −26,07 MPa, σx′ + σy′ = 0 = σx + σy
Cevap
σy′ = 26,07 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = −69,04 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = −45 + −25·0,1736 + −20·0,9848 = −69,04 MPa
Cevap
σθ = −69,04 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 0,102 mm
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Alanlar
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
Birleşik eksenel rijitlik
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·3063 = 5,883 × 10⁸ N
Kısalma
δ = 100000·600/5,883 × 10⁸ = 0,102 mm
Cevap
δ = 0,102 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σmax = 795,8 MPa
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 183,3 MPa
σ2 = 795,8 MPa
En büyük gerilme
İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.
σmax = 795,8 MPa
Cevap
σmax = 795,8 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 96,89 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96,89 kN
Cevap
Pcr = 96,89 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 39,04 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2,5·10000 = 25000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 39,04 mm
Cevap
d = 39,04 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 307,4, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,04743
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(10000·40) = 1265 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 60/1265 = 0,04743
Cevap
ζ = 0,04743
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 23,61 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.
keq = 50 + 60 = 110 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(110000/5) = 148,3 rad/s
fn = 148,3/(2π) = 23,61 Hz
Cevap
fn = 23,61 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design