Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile çalışan 15 kW’lık bir motor 16 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 20 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %96. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 15 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 16N₂ = 20η = 96%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, 1500 rpm ile dönen 125 mm’lik bir tahrik kasnağını 500 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 500 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,35 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 2000 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).

d₁ = 125 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 500 mmC = 500 mmμ = 0,35T₁ = 2000 N

P = kW

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir mil 500 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,6 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 60 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

T = 500 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 500 rpm’de 5 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,8 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 60 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 5 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −20 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = −20 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −10 MPa, σᵧ = 40 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 45° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = −10 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 60 mm, E = 120 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 400 mm’dir ve rijit levhalar arasında 150 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 150 kNçubuk: Ø30 mm, E = 200 GPaboru: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 25 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) ile pirinç malzemeden yapılmış bir kesim (çap 50 mm, uzunluk 400 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 80 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 125 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 125 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 12 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 4 çevrim sonra 2,6 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 12 mmx₄ = 2,6 mmn = 4

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

25 kg’lık bir kütle k₃ = 25 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 50 kN/m ve k₂ = 15 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 99,47 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/150,8 = 99,47 N·m

Cevap

T₁ = 99,47 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 11,08 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Sarılma açısı

θ = 2,373 rad

Gevşek taraftaki çekme kuvveti

e^μθ = e^0,8305 = 2,294, T₂ = 2000/2,294 = 871,7 N

Güç

P = (2000 − 871,7)·9,817 = 11,08 kW

Cevap

P = 11,08 kW

3.Millerin burulması

Cevap: d_o = 36,53 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 500 N·m = 500000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·60·0,8704)) = 36,53 mm

d_i = 0,6·36,53 = 21,92 mm

Cevap

d_o = 36,53 mm

Dolu bir mil d = 34,88 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 23,94 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·60·0,5904)) = 23,94 mm

d_i = 0,8·23,94 = 19,16 mm

Cevap

d_o = 23,94 mm

Dolu bir mil d = 20,09 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 74,52 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·30, −20 − 80) = 149°

Elemandaki açı

θ_p = 74,52°

Cevap

θ_p = 74,52°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = 25 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −−25·1 + −10·0 = 25 MPa

Cevap

τ_θ = 25 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,05176 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·8482 = 1,159 × 10⁹ N

Kısalma

δ = 150000·400/1,159 × 10⁹ = 0,05176 mm

Cevap

δ = 0,05176 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 24,45 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 100000·1963/400 = 490874 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 80000·490874/818123 = 48000 N

Gerilme

σ₂ = 48000/1963 = 24,45 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 24,45 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 58,49 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/3000² = 58487 N = 58,49 kN

Cevap

P_cr = 58,49 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 61,65 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·125000 = 250000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 61,65 mm

Cevap

d = 61,65 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 90,83, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,06074

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/4)·ln(12/2,6) = 0,3823

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3823/√(39,48 + 0,1462) = 0,06074

Cevap

ζ = 0,06074

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 4,277 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 50 + 15 = 65 kN/m

k_eq = 65·25/(65 + 25) = 18,06 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(18056/25) = 26,87 rad/s

f_n = 26,87/(2π) = 4,277 Hz

Cevap

f_n = 4,277 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design