Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

960 rpm ile çalışan 1,5 kW’lık bir motor, 18 dişli ve 3 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet F_t değerini bulun.

P = 1,5 kWn = 960 rpmN₁ = 18m = 3 mm

F_t = N

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, 2880 rpm ile dönen 80 mm’lik bir tahrik kasnağını 315 mm’lik bir kasnağa bağlıyor; merkezler 800 mm arayla duruyor. Sürtünme katsayısı 0,25 ve gergin taraftaki çekme kuvveti 500 N’u aşamaz. Kayışın kaymadan iletebileceği en büyük gücü P kW cinsinden bulun (merkezkaç etkilerini yok sayın).

d₁ = 80 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 315 mmC = 800 mmμ = 0,25T₁ = 500 N

P = kW

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 500 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 80 MPa değerini aşmadan 3000 dev/dk’da 5 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 5 kWN = 3000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −70 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = −70 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 0 MPa, σᵧ = 60 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). von Mises eşdeğer gerilmesi σ_vM değerini bulun.

σ_x = 0 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −40 MPa

σ_vM = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 50 mm, E = 120 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 300 mm’dir ve rijit levhalar arasında 300 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 300 kNçubuk: Ø20 mm, E = 200 GPaboru: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 30 kNparça 1: Ø25 mm, 1,5 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 40 mm’lik bir yer değiştirme tepesini bir çevrim sonra 21,3 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 40 mmx₁ = 21,3 mmn = 1

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

10 kg’lık bir kütle k₃ = 100 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 15 kN/m ve k₂ = 60 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 10 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: F_t = 552,6 N

Dişli geometrisi: m modülü diş boyutunu belirler. N dişli bir dişlinin bölüm dairesi çapı d = m·N’dir, birbirine geçen iki dişlinin modülü aynıdır ve eksenler arası mesafeleri a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2’dir. Bölüm dairesi hızı v = π·d·n/60’tır ve teğetsel diş kuvveti torktan bulunur: F_t = 2T/d.

Pinyondaki tork

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 1500/100,5 = 14,92 N·m

Bölüm dairesi çapı

d = m·N = 3·18 = 54 mm

Teğetsel kuvvet

F_t = 2T/d = 2·14,92/0,054 = 552,6 N

Cevap

F_t = 552,6 N

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: P = 3,071 kW

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Sarılma açısı

θ = 2,847 rad

Gevşek taraftaki çekme kuvveti

e^μθ = e^0,7117 = 2,037, T₂ = 500/2,037 = 245,4 N

Güç

P = (500 − 245,4)·12,06 = 3,071 kW

Cevap

P = 3,071 kW

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 1,459 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(80000·613592) = 0,02546 rad

φ = 0,02546·180/π = 1,459°

Cevap

φ = 1,459°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 10,04 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 5000/314,2 = 15,92 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·15915/(π·80)) = 10,04 mm

Cevap

d = 10,04 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 60,21 MPa

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((−70 − −80)/2)² + −60²) = 60,21 MPa

Cevap

τ_max = 60,21 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_vM = 91,65 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 30 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 80 MPa, σ₂ = −20 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(80² − 80·(−20) + (−20)²) = 91,65 MPa

Cevap

σ_vM = 91,65 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,1169 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·5890 = 7,697 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 300000·300/7,697 × 10⁸ = 0,1169 mm

Cevap

δ = 0,1169 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 265,3 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 61,12 MPa

σ₂ = 265,3 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 265,3 MPa

Cevap

σ_max = 265,3 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 269,2 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1500² = 269152 N = 269,2 kN

Cevap

P_cr = 269,2 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 100,7 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/10 = 140

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Cevap

σ_cr = 100,7 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,09979

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/1)·ln(40/21,3) = 0,6302

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6302/√(39,48 + 0,3971) = 0,09979

Cevap

ζ = 0,09979

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 10,42 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 15 + 60 = 75 kN/m

k_eq = 75·100/(75 + 100) = 42,86 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(42857/10) = 65,47 rad/s

f_n = 65,47/(2π) = 10,42 Hz

Cevap

f_n = 10,42 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design