Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
İki paralel mil arasında 180 mm mesafe var. Bunlar 5 mm modüllü ve 3 : 1 hız düşürme oranlı bir çift düz dişliyle bağlanmalıdır. Dişlinin kaç dişi N2 olmalıdır?
a = 180 mmm = 5 mmi = 3
N2 =
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
1450 rpm’deki 4 kW’lık bir motor A dişlisini (18 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (36 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (18 diş), çıkış milindeki D dişlisini (72 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %96’dır. Çıkış torku Tout değerini bulun.
P = 4 kWnin = 1450 rpmA = 18B = 36C = 18D = 72ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 1000 N·md = 50 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
İçi boş bir mil 1800 rpm’de 5 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,7 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 50 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap do değerini bulun.
P = 5 kWN = 1800 rpmdi/do = 0,7τallow = 50 MPa
do = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 20 MPa, σᵧ = 60 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
σx = 20 MPaσy = 60 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −60 MPa, σᵧ = 100 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 45° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = −60 MPaσy = 100 MPaτxy = −40 MPaθ = 45°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.
P = 80 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
çelik bir çubuk (çap 25 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 150 MPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 60 mm, E = 120 GPa, izin verilen gerilme 80 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü Pmax bulun.
çubuk: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPaboru: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.Kolon burkulmasıOrta
çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 95 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 95 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
2 kg’lık bir kütle, rijitliği 15 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 50 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
m = 2 kgk = 15 kN/mc = 50 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
50 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 80 kN/m, alttakinin k₂ = 80 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 50 kgk1 = 80 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: N2 = 54
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Toplam diş sayısı
N1 + N2 = 2a/m = 2·180/5 = 72
Orana göre bölün
N1 = 72/(1 + 3) = 18
N2 = 3·18 = 54
Cevap
N2 = 54
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: Tout = 194,2 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Çıkış hızı
nout = 1450·(18/36)·(18/72) = 181,3 rpm
ωout = 2π·181,3/60 = 18,98 rad/s
Çıkış gücü ve tork
Pout = 4000·0,96² = 3686 W
Tout = Pout/ωout = 3686/18,98 = 194,2 N·m
Cevap
Tout = 194,2 N·m
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 4,789 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(39000·613592) = 0,08358 rad
φ = 0,08358·180/π = 4,789°
Cevap
φ = 4,789°
4.Millerin burulması
Cevap: do = 15,26 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 5000/188,5 = 26,53 N·m
Emniyet gerilmesinden dış çap
T = 26,53 N·m = 26526 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·26526/(π·50·0,7599)) = 15,26 mm
di = 0,7·15,26 = 10,68 mm
Cevap
do = 15,26 mm
Dolu bir mil d = 13,93 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 36,06 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Mohr dairesinin yarıçapı
τmax = R = √(((20 − 60)/2)² + 30²) = 36,06 MPa
Cevap
τmax = 36,06 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = −20 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = 20 + −80·0 + −40·1 = −20 MPa
Cevap
σθ = −20 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 3,492 mm
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 80·1000/490,9 = 163 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 163/70000 = 0,002328 = 2328 µε
Uzama
δ = ε·L = 0,002328·1500 mm = 3,492 mm
Cevap
δ = 3,492 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: Pmax = 467,6 kN
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Alanlar
Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
Birleşik eksenel rijitlik
ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·5027 = 7,014 × 10⁸ N
Belirleyici birim şekil değiştirme
ε = min(0,00075, 0,0006667) = 0,0006667 (bakır)
En büyük yük
Pmax = 0,0006667·7,014 × 10⁸ = 467574 N = 467,6 kN
Cevap
Pmax = 467,6 kN
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 100,7 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/3500² = 100710 N = 100,7 kN
Cevap
Pcr = 100,7 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 93,26 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 3·95000 = 285000 N
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 93,26 mm
Cevap
d = 93,26 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 128,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,1443
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritik sönüm
cc = 2·√(k·m) = 2·√(15000·2) = 346,4 N·s/m
Sönüm oranı
ζ = c/cc = 50/346,4 = 0,1443
Cevap
ζ = 0,1443
ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 4,502 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/80 + 1/80 → keq = 80·80/(80 + 80) = 40 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(40000/50) = 28,28 rad/s
fn = 28,28/(2π) = 4,502 Hz
Cevap
fn = 4,502 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design