Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Güç
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi
toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Statik çökmeden
ωn = √(g/δst)
Kritik sönüm
cc = 2√(km) = 2mωn
Sönüm oranı
ζ = c/cc
Sönümlü frekans
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar
k = k1 + k2
Seri yaylar
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
N1​ = 45N2​ = 80

1450 rpm ile çalışan 1,1 kW’lık bir motor 45 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 80 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %96. Dişli milindeki çıkış torku T2 değerini bulun.

P = 1,1 kWn1 = 1450 rpmN1 = 45N2 = 80η = 96%
T2 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
A = 45B = 60C = 15D = 48

1450 rpm’deki 7,5 kW’lık bir motor A dişlisini (45 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (60 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (15 diş), çıkış milindeki D dişlisini (48 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %96’dır. Çıkış torku Tout değerini bulun.

P = 7,5 kWnin = 1450 rpmA = 45B = 60C = 15D = 48ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.Millerin burulmasıOrta
T = 250 N·md = 25 mmL = 1,5 mφ = ?

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 250 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
Td = ?

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 80 MPa değerini aşmadan 1500 dev/dk’da 10 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 10 kWN = 1500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = 40σy​ = 120τxy​ = −30MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 40 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θp değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σx = 40 MPaσy = 120 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​ = −10σy​ = 10τxy​ = 20MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −10 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 60° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τθ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σx = −10 MPaσy = 10 MPaτxy = 20 MPaθ = 60°
τθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 12 mmAlüminyum3 mP = 80 kN

alüminyum çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 80 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa
ε = µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 40 mmÇelik2 mØ 16 mmBakır0,5 mP = 120 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.

P = 120 kNparça 1: Ø40 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø16 mm, 0,5 m, bakır (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 1,5 md = 40 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 2,5 md = 50 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Mekanik titreşimlerOrta
k = 200 kN/mζ = 0,6m = 25 kg

Rijitliği 200 kN/m olan bir yay üzerindeki 25 kg’lık bir kütlenin, 0,6 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı fd değerini Hz cinsinden bulun.

m = 25 kgk = 200 kN/mζ = 0,6
fd = Hz
12.Mekanik titreşimlerZor
k1​ = 80k2​ = 15m = 20 kg

20 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 80 kN/m, alttakinin k₂ = 15 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 20 kgk1 = 80 kN/mk2 = 15 kN/m
keq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T2 = 12,36 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/151,8 = 7,244 N·m

Çıkış torku

T2 = 7,244·80/45·0,96 = 12,36 N·m

Cevap

T2 = 12,36 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: Tout = 194,2 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Çıkış hızı

nout = 1450·(45/60)·(15/48) = 339,8 rpm
ωout = 2π·339,8/60 = 35,59 rad/s

Çıkış gücü ve tork

Pout = 7500·0,96² = 6912 W
Tout = Pout/ωout = 6912/35,59 = 194,2 N·m

Cevap

Tout = 194,2 N·m
3.Millerin burulması

Cevap: φ = 21,55 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·38350) = 0,3761 rad
φ = 0,3761·180/π = 21,55°

Cevap

φ = 21,55°
4.Millerin burulması

Cevap: d = 15,94 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·80)) = 15,94 mm

Cevap

d = 15,94 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θp = −71,57 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

στxyCσ1​σ2​

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θp = atan2(2·−30, 40 − 120) = −143,1°

Elemandaki açı

θp = −71,57°

Cevap

θp = −71,57°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τθ = −1,34 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dönüşüm denklemi

τθ = −−10·0,866 + 20·−0,5 = −1,34 MPa

Cevap

τθ = −1,34 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 10105 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 80·1000/113,1 = 707,4 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 707,4/70000 = 0,01011 = 10105 µε

Cevap

ε = 10105 µε
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σmax = 596,8 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 95,49 MPa
σ2 = 596,8 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σmax = 596,8 MPa

Cevap

σmax = 596,8 MPa
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 9,646 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9,646 kN

Cevap

Pcr = 9,646 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 12,34 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/12,5 = 400

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Cevap

σcr = 12,34 MPa
11.Mekanik titreşimler

Cevap: fd = 11,39 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ωn = √(200000/25) = 89,44 rad/s
fn = 89,44/(2π) = 14,24 Hz

Sönümlü doğal frekans

fd = fn·√(1 − ζ²) = 14,24·√(1 − 0,6²) = 11,39 Hz

Cevap

fd = 11,39 Hz
12.Mekanik titreşimler

Cevap: keq = 12,63 kN/m

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/80 + 1/15 → keq = 80·15/(80 + 15) = 12,63 kN/m

Cevap

keq = 12,63 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design