Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler
n1·N1 = n2·N2
Tork
T2 = T1·(N2/N1)·η
Güç
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi
toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Statik çökmeden
ωn = √(g/δst)
Kritik sönüm
cc = 2√(km) = 2mωn
Sönüm oranı
ζ = c/cc
Sönümlü frekans
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar
k = k1 + k2
Seri yaylar
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
N1​ = ?N2​

İki paralel mil arasında 125 mm mesafe var. Bunlar 2,5 mm modüllü ve 4 : 1 hız düşürme oranlı bir çift düz dişliyle bağlanmalıdır. Pinyonun kaç dişi N1 olmalıdır?

a = 125 mmm = 2,5 mmi = 4
N1 =
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Ns​ = 30nr​ = ?Np​ = 24taşıyıcı sabit

Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 30 dişi ve her planet dişlisinin 24 dişi var. Planet taşıyıcısı sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 600 rpm ile döndürülüyor. Çember dişlinin hızı nr değerini (büyüklük) bulun.

Ns = 30Np = 24ns = 600 rpm
nr = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
d = 40 mmT0​ = 100 N·mACBa = 0,5 mb = 2 m

40 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 0,5 m ve B’den 2 m uzaklıktaki C’de 100 N·m tork uygulanıyor. A duvarındaki tepki torku TA değerini bulun.

d = 40 mmT0 = 100 N·ma = 0,5 mb = 2 m
TA = N·m
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = 100σy​ = 100τxy​ = −10MPa

Bir noktada σₓ = 100 MPa, σᵧ = 100 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünde 30° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σy′ değerini bulun.

σx = 100 MPaσy = 100 MPaτxy = −10 MPaθ = -30°
σy′ = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​ = 160σy​ = −40τxy​ = 20MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 160 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 50° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.

σx = 160 MPaσy = −40 MPaτxy = 20 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
80 kNØ25110 GPaØ120/60800 mmδ = ?

çelik bir çubuk (çap 25 mm, E = 200 GPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 60 mm, E = 110 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 800 mm’dir ve rijit levhalar arasında 80 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 80 kNçubuk: Ø25 mm, E = 200 GPaboru: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
P = ?Ø30100 GPaØ100/70800 mm

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 120 MPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 70 mm, E = 100 GPa, izin verilen gerilme 50 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü Pmax bulun.

çubuk: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPaboru: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 1,5 m40 × 60 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 3 md = 40 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Mekanik titreşimlerOrta
k = 20 kN/mc = 380 N·s/mm = 80 kg

80 kg’lık bir kütle, rijitliği 20 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 380 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 80 kgk = 20 kN/mc = 380 N·s/m
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
k1​ = 20k2​ = 25m = 10 kg

10 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 20 kN/m, alttakinin k₂ = 25 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.

m = 10 kgk1 = 20 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: N1 = 20

Dişli geometrisi: m modülü diş boyutunu belirler. N dişli bir dişlinin bölüm dairesi çapı d = m·N’dir, birbirine geçen iki dişlinin modülü aynıdır ve eksenler arası mesafeleri a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2’dir. Bölüm dairesi hızı v = π·d·n/60’tır ve teğetsel diş kuvveti torktan bulunur: Ft = 2T/d.

Toplam diş sayısı

N1 + N2 = 2a/m = 2·125/2,5 = 100

Orana göre bölün

N1 = 100/(1 + 4) = 20

Cevap

N1 = 20
2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: nr = 230,8 rpm

Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.

Çember dişli diş sayısı

Nr = Ns + 2·Np = 30 + 2·24 = 78

Taşıyıcı sabitken Willis denklemi

nc = 0 iken güneş dişlisi, ara dişli gibi davranan planetler aracılığıyla çemberi tahrik eder.

nr = −ns·Ns/Nr = −600·30/78 = −230,8 rpm
|nr| = 230,8 rpm

Cevap

nr = 230,8 rpm

Çember güneşe ters yönde döner.

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 2,28 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(80000·251327) = 0,03979 rad
φ = 0,03979·180/π = 2,28°

Cevap

φ = 2,28°
4.Millerin burulması

Cevap: TA = 80 N·m

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·2/2,5 = 80 N·m
TB = 100·0,5/2,5 = 20 N·m

Cevap

TA = 80 N·m
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σy′ = 91,34 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σy′ = 100 − 0·0,5 − (−10)·(−0,866) = 91,34 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σx′ = 108,7 MPa, σx′ + σy′ = 200 = σx + σy

Cevap

σy′ = 91,34 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σθ = 62,33 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dönüşüm denklemi

σθ = 60 + 100·−0,1736 + 20·0,9848 = 62,33 MPa

Cevap

σθ = 62,33 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,06206 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·8482 = 1,031 × 10⁹ N

Kısalma

δ = 80000·800/1,031 × 10⁹ = 0,06206 mm

Cevap

δ = 0,06206 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: Pmax = 271 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·4006 = 5,419 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,0006, 0,0005) = 0,0005 (pirinç)

En büyük yük

Pmax = 0,0005·5,419 × 10⁸ = 270962 N = 271 kN

Cevap

Pmax = 271 kN
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 70,18 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/3000² = 70184 N = 70,18 kN

Cevap

Pcr = 70,18 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 44,76 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/10 = 210

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44,76 MPa

Cevap

σcr = 44,76 MPa
11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,1502

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·80) = 2530 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/cc = 380/2530 = 0,1502

Cevap

ζ = 0,1502

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: fn = 5,305 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/20 + 1/25 → keq = 20·25/(20 + 25) = 11,11 kN/m

Doğal frekans

ωn = √(11111/10) = 33,33 rad/s
fn = 33,33/(2π) = 5,305 Hz

Cevap

fn = 5,305 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design