Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
1500 rpm ile çalışan 5,5 kW’lık bir motor 40 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 50 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %96. Dişli milindeki çıkış torku T2 değerini bulun.
P = 5,5 kWn1 = 1500 rpmN1 = 40N2 = 50η = 96%
T2 = N·m
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Bileşik bir dişli dizisinde, 1500 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (32 diş) B dişlisini (36 diş) döndürüyor. C dişlisi (15 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (80 diş) döndürüyor. Çıkış hızı nout değerini bulun.
nin = 1500 rpmA = 32B = 36C = 15D = 80
nout = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 100 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
Dolu bir mil, kayma gerilmesi 80 MPa değerini aşmadan 3000 dev/dk’da 5 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.
P = 5 kWN = 3000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Bir noktada σₓ = 10 MPa, σᵧ = −70 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θs açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).
σx = 10 MPaσy = −70 MPaτxy = −30 MPa
θs = °
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 120 MPa, σᵧ = −10 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 45° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τθ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).
σx = 120 MPaσy = −10 MPaτxy = 20 MPaθ = -45°
τθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 20 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 40 mm, uzunluk 200 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,25 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.
kesim 1: çelik, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm
P = kN
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.
P = 120 kNparça 1: Ø30 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø12 mm, 0,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)
δ = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 115 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 115 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 40 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 2 çevrim sonra 11,3 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
x0 = 40 mmx2 = 11,3 mmn = 2
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
20 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 15 kN/m, alttakinin k₂ = 30 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.
m = 20 kgk1 = 15 kN/mk2 = 30 kN/m
keq = kN/m
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: T2 = 42,02 N·m
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Motor torku
ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/157,1 = 35,01 N·m
Çıkış torku
T2 = 35,01·50/40·0,96 = 42,02 N·m
Cevap
T2 = 42,02 N·m
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: nout = 250 rpm
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Birinci kademe
nB = 1500·32/36 = 1333 rpm = nC
İkinci kademe
nout = 1333·15/80 = 250 rpm
Cevap
nout = 250 rpm
toplam oran = 6 : 1
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 8,619 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(26000·38350) = 0,1504 rad
φ = 0,1504·180/π = 8,619°
Cevap
φ = 8,619°
4.Millerin burulması
Cevap: d = 10,04 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Tork
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 5000/314,2 = 15,92 N·m
Emniyet gerilmesinden çap
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·15915/(π·80)) = 10,04 mm
Cevap
d = 10,04 mm
Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: θs = −63,43 °
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dairedeki açı
Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.
cos 2θs = −30/50 = −0,6, sin 2θs = −40/50 = −0,8
2θs = atan2(−40, −30) = −126,9°
Elemandaki açı
θs = −63,43°
kontrol: θs − θp = −63,43 − (−18,43) = −45°
Cevap
θs = −63,43°
Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τθ = 65 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
τθ = −65·−1 + 20·0 = 65 MPa
Cevap
τθ = 65 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: P = 21,15 kN
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Alanlar
A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²
Esneklikler
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1257) = 2,274 × 10⁻⁶ mm/N
Yük
P = 0,25/1,182 × 10⁻⁵ = 21145 N = 21,15 kN
Cevap
P = 21,15 kN
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 12,43 mm
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 169,8 MPa
σ2 = 1061 MPa
Parça uzamalarını toplayın
δ1 = σ1L1/E1 = 169,8·2000/70000 = 4,85 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 1061·500/70000 = 7,579 mm
δ = δ1 + δ2 = 12,43 mm
Cevap
δ = 12,43 mm
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 2,12 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 1·2500 = 2500 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2500² = 2120 N = 2,12 kN
Cevap
Pcr = 2,12 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 101,7 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N
KL = 2·3000 = 6000 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 101,7 mm
Cevap
d = 101,7 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 236,1, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,1001
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Logaritmik azalma
δ = (1/2)·ln(40/11,3) = 0,632
Sönüm oranı
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,632/√(39,48 + 0,3995) = 0,1001
Cevap
ζ = 0,1001
12.Mekanik titreşimler
Cevap: keq = 10 kN/m
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/15 + 1/30 → keq = 15·30/(15 + 30) = 10 kN/m
Cevap
keq = 10 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design