Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
İki paralel mil arasında 157,5 mm mesafe var. Bunlar 3 mm modüllü ve 2,5 : 1 hız düşürme oranlı bir çift düz dişliyle bağlanmalıdır. Pinyonun kaç dişi N1 olmalıdır?
a = 157,5 mmm = 3 mmi = 2,5
N1 =
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Bileşik bir dişli dizisinde giriş milindeki A dişlisi (45 diş) 1440 rpm ile dönüyor ve B dişlisini (60 diş) tahrik ediyor. C dişlisi (16 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini tahrik ediyor. Çıkış 432 rpm ile dönmelidir. D dişlisinin kaç dişi ND olmalıdır?
nin = 1440 rpmA = 45B = 60C = 16nout = 432 rpm
ND =
3.Millerin burulmasıOrta
1 m uzunluğundaki dolu bir alüminyum mil 1500 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 1°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.
T = 1500 N·mL = 1 mG = 26 GPaφallow = 1°
d = mm
4.Millerin burulmasıZor
60 mm çaplı dolu bir pirinç mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 1,5 m ve B’den 2,5 m uzaklıktaki C’de 1500 N·m tork uygulanıyor. C kesitinin dönme açısı φC değerini derece cinsinden bulun.
d = 60 mmT0 = 1500 N·ma = 1,5 mb = 2,5 mG = 39 GPa
φC = °
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −40 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.
σx = −40 MPaσy = 10 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 80 MPa, σᵧ = 100 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 20° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τθ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).
σx = 80 MPaσy = 100 MPaτxy = −10 MPaθ = 20°
τθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa), alüminyum malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 50 mm, E = 70 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 500 mm’dir ve rijit levhalar arasında 250 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.
P = 250 kNçubuk: Ø40 mm, E = 200 GPaboru: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 120 MPa), alüminyum malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 50 mm, E = 70 GPa, izin verilen gerilme 70 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü Pmax bulun.
çubuk: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPaboru: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.Kolon burkulmasıOrta
alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 1 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 100 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 100 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 25 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 2 çevrim sonra 5,5 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.
x0 = 25 mmx2 = 5,5 mmn = 2
ζ =
12.Mekanik titreşimlerZor
50 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 12 kN/m ve k₂ = 80 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği keq değerini kN/m cinsinden bulun.
m = 50 kgk1 = 12 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: N1 = 30
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Toplam diş sayısı
N1 + N2 = 2a/m = 2·157,5/3 = 105
Orana göre bölün
N1 = 105/(1 + 2,5) = 30
Cevap
N1 = 30
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: ND = 40
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Ara mil hızı
nB = nC = 1440·45/60 = 1080 rpm
D dişlisinin diş sayısı
ND = C·nC/nout = 16·1080/432 = 40
Cevap
ND = 40
3.Millerin burulması
Cevap: d = 76,17 mm
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Gerekli polar atalet momenti
T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1·π/180 = 0,01745 rad
J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·1000/(26000·0,01745) = 3,306 × 10⁶ mm⁴
Çap
d = (32J/π)1/4 = 76,17 mm
Cevap
d = 76,17 mm
Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.
4.Millerin burulması
Cevap: φC = 1,624 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).
Denge ve uygunluk
TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·2,5/4 = 937,5 N·m
TB = 1500·1,5/4 = 562,5 N·m
C’nin dönmesi
AC parçasını kullanın: A’da ankastredir ve TA taşır.
J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 937500·1500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,02834 rad = 1,624°
Cevap
φC = 1,624°
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τmax = 39,05 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Mohr dairesinin yarıçapı
τmax = R = √(((−40 − 10)/2)² + −30²) = 39,05 MPa
Cevap
τmax = 39,05 MPa
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: τθ = −1,233 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
τθ = −−10·0,6428 + −10·0,766 = −1,233 MPa
Cevap
τθ = −1,233 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 0,1883 mm
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Alanlar
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
Birleşik eksenel rijitlik
ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5890 = 6,637 × 10⁸ N
Kısalma
δ = 250000·500/6,637 × 10⁸ = 0,1883 mm
Cevap
δ = 0,1883 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: Pmax = 285,1 kN
İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.
Alanlar
Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
Birleşik eksenel rijitlik
ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·5890 = 4,752 × 10⁸ N
Belirleyici birim şekil değiştirme
ε = min(0,0006, 0,001) = 0,0006 (çelik)
En büyük yük
Pmax = 0,0006·4,752 × 10⁸ = 285100 N = 285,1 kN
Cevap
Pmax = 285,1 kN
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 77,72 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 1·1000 = 1000 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/1000² = 77723 N = 77,72 kN
Cevap
Pcr = 77,72 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 147,4 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N
KL = 2·4000 = 8000 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·8000²/(π³·70000))^(1/4) = 147,4 mm
Cevap
d = 147,4 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 217,1, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: ζ = 0,1196
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Logaritmik azalma
δ = (1/2)·ln(25/5,5) = 0,7571
Sönüm oranı
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7571/√(39,48 + 0,5731) = 0,1196
Cevap
ζ = 0,1196
12.Mekanik titreşimler
Cevap: keq = 92 kN/m
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.
keq = 12 + 80 = 92 kN/m
Cevap
keq = 92 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design