Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

2900 rpm ile çalışan 0,75 kW’lık bir motor 18 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 20 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %96. Dişli milindeki çıkış torku T₂ değerini bulun.

P = 0,75 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 18N₂ = 20η = 96%

T₂ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 24 dişi ve her planet dişlisinin 18 dişi var. Planet taşıyıcısı sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 1200 rpm ile döndürülüyor. Çember dişlinin hızı n_r değerini (büyüklük) bulun.

N_s = 24N_p = 18n_s = 1200 rpm

n_r = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

2,5 m uzunluğundaki dolu bir pirinç mil 1500 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 2°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 1500 N·mL = 2,5 mG = 39 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 500 dev/dk’da 50 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 50 kWN = 500 rpmd_o = 100 mmd_i = 70 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa, σ_z = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τ_abs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σ_x = 30 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 30 MPa, σᵧ = −20 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 300 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 30 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 40 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 40 mm, uzunluk 200 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,25 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 60 kNparça 1: Ø35 mm, 0,5 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1,5 m, bakır (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 200 kN/m olan bir yay üzerindeki 8 kg’lık bir kütlenin, 0,45 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 8 kgk = 200 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 30 kN/m ve k₂ = 25 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₂ = 2,634 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/303,7 = 2,47 N·m

Çıkış torku

T₂ = 2,47·20/18·0,96 = 2,634 N·m

Cevap

T₂ = 2,634 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_r = 480 rpm

Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.

Çember dişli diş sayısı

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·18 = 60

Taşıyıcı sabitken Willis denklemi

n_c = 0 iken güneş dişlisi, ara dişli gibi davranan planetler aracılığıyla çemberi tahrik eder.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1200·24/60 = −480 rpm

|n_r| = 480 rpm

Cevap

n_r = 480 rpm

Çember güneşe ters yönde döner.

3.Millerin burulması

Cevap: d = 72,78 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·2500/(39000·0,03491) = 2,755 × 10⁶ mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 72,78 mm

Cevap

d = 72,78 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 6,4 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Polar atalet momenti

J = π(100⁴ − 70⁴)/32 = 7,46 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·50/7,46 × 10⁶ = 6,4 MPa

Cevap

τ_max = 6,4 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_abs = 43,51 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σ_max − σ_min)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

Düzlem içi asal gerilmeler

C = 55 MPa, R = √((−25)² + (−20)²) = 32,02 MPa

σ₁ = 87,02 MPa, σ₂ = 22,98 MPa, σ_z = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(64,03, 87,02, 22,98)/2 = 43,51 MPa

Cevap

τ_abs = 43,51 MPa

Burada düzlem dışı daire belirleyicidir: mutlak en büyük değer, düzlem içi en büyük değer R’den büyüktür.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 6,396

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 5 MPa, R = 26,93 MPa

σ₁ = 31,93 MPa, σ₂ = −21,93 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(31,93² − 31,93·(−21,93) + (−21,93)²) = 46,9 MPa

n = 300/46,9 = 6,396

Cevap

n = 6,396

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 53,64 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1257) = 2,274 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,25/4,661 × 10⁻⁶ = 53637 N = 53,64 kN

Cevap

P = 53,64 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 298,4 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 62,36 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 298,4 MPa

Cevap

σ_max = 298,4 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 5,888 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/6000² = 5888 N = 5,888 kN

Cevap

P_cr = 5,888 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 87,73 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Cevap

σ_cr = 87,73 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 22,47 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(200000/8) = 158,1 rad/s

f_n = 158,1/(2π) = 25,16 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 25,16·√(1 − 0,45²) = 22,47 Hz

Cevap

f_d = 22,47 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 8,346 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 25 = 55 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(55000/20) = 52,44 rad/s

f_n = 52,44/(2π) = 8,346 Hz

Cevap

f_n = 8,346 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design