Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile çalışan 5,5 kW’lık bir motor 30 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 32 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %97. Dişli milindeki çıkış torku T₂ değerini bulun.

P = 5,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 30N₂ = 32η = 97%

T₂ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 16 dişi ve her planet dişlisinin 15 dişi var. Çember dişli sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 1440 rpm ile döndürülüyor. Planet taşıyıcısının hızı n_c değerini bulun.

N_s = 16N_p = 15n_s = 1440 rpm

n_c = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 20 mm çaplı dolu bir numune 75 N·m torkla burulmuştur. 300 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 2,1° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 75 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 2,1°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

25 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 0,5 m ve B’den 2,5 m uzaklıktaki C’de 250 N·m tork uygulanıyor. C kesitinin dönme açısı φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 25 mmT₀ = 250 N·ma = 0,5 mb = 2,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 100 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 100 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 80 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 250 MPa’dır. Tresca (en büyük kayma gerilmesi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 80 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 45 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 100 kNparça 1: Ø35 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø20 mm, 0,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

2 kg’lık bir kütle, rijitliği 80 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 80 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 2 kgk = 80 kN/mc = 80 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

20 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 50 kN/m, alttakinin k₂ = 60 kN/m. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 20 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₂ = 37,74 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/150,8 = 36,47 N·m

Çıkış torku

T₂ = 36,47·32/30·0,97 = 37,74 N·m

Cevap

T₂ = 37,74 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_c = 371,6 rpm

Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.

Çember dişli diş sayısı

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·15 = 46

Çember sabitken Willis denklemi

n_r = 0 alın ve taşıyıcı hızını çözün.

(1440 − n_c)/(0 − n_c) = −46/16

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1440·16/62 = 371,6 rpm

Cevap

n_c = 371,6 rpm

Taşıyıcı güneşle aynı yönde döner.

3.Millerin burulması

Cevap: G = 39,08 GPa

Polar atalet momenti ve açı

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 2,1·π/180 = 0,03665 rad

Kayma modülü

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·300/(15708·0,03665) = 39081 MPa

G = 39,08 GPa

Cevap

G = 39,08 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 1,945 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca T_A + T_B = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·2,5/3 = 208,3 N·m

T_B = 250·0,5/3 = 41,67 N·m

C’nin dönmesi

AC parçasını kullanın: A’da ankastredir ve T_A taşır.

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 208333·500/(80000·38350) = 0,03395 rad = 1,945°

Cevap

φ_C = 1,945°

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 41,23 MPa

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((100 − 80)/2)² + −40²) = 41,23 MPa

Cevap

τ_max = 41,23 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 1,901

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 15 MPa, R = 65,76 MPa

σ₁ = 80,76 MPa, σ₂ = −50,76 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 131,5 MPa

n = 250/131,5 = 1,901

Cevap

n = 1,901

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,175 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 45·1000/490,9 = 91,67 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 91,67/117000 = 0,0007835 = 783,5 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,0007835·1500 mm = 1,175 mm

Cevap

δ = 1,175 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 3,313 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 103,9 MPa

σ₂ = 318,3 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 103,9·2000/200000 = 1,039 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 318,3·500/70000 = 2,274 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,313 mm

Cevap

δ = 3,313 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 109,9 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109,9 kN

Cevap

P_cr = 109,9 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 16,11 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/5 = 350

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/350² = 16,11 MPa

Cevap

σ_cr = 16,11 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,1

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·2) = 800 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 80/800 = 0,1

Cevap

ζ = 0,1

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 5,877 Hz

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/60 → k_eq = 50·60/(50 + 60) = 27,27 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(27273/20) = 36,93 rad/s

f_n = 36,93/(2π) = 5,877 Hz

Cevap

f_n = 5,877 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design