Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile çalışan 1,1 kW’lık bir motor, 20 dişli ve 4 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet F_t değerini bulun.

P = 1,1 kWn = 1440 rpmN₁ = 20m = 4 mm

F_t = N

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

960 rpm’deki 1,1 kW’lık bir motor A dişlisini (16 diş) tahrik ediyor; A, B dişlisiyle (40 diş) kavrıyor. B ile aynı mil üzerindeki C dişlisi (30 diş), çıkış milindeki D dişlisini (48 diş) tahrik ediyor. Her dişli kavramasının verimi %97’dır. Çıkış torku T_out değerini bulun.

P = 1,1 kWn_in = 960 rpmA = 16B = 40C = 30D = 48η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Millerin burulmasıOrta

0,5 m uzunluğundaki dolu bir çelik mil 1500 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 2°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 1500 N·mL = 0,5 mG = 80 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 300 dev/dk’da 100 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 100 kWN = 300 rpmd_o = 80 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −60 MPa, σᵧ = 20 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = −60 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −20 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 45° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = −20 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 60 mm, E = 110 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 300 mm’dir ve rijit levhalar arasında 200 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 200 kNçubuk: Ø20 mm, E = 200 GPaboru: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 120 kNparça 1: Ø35 mm, 0,5 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1 m, pirinç (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 12 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 5 çevrim sonra 1 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 12 mmx₅ = 1 mmn = 5

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

5 kg’lık bir kütle k₃ = 50 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 25 kN/m ve k₂ = 10 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: F_t = 182,4 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Pinyondaki tork

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 1100/150,8 = 7,295 N·m

Bölüm dairesi çapı

d = m·N = 4·20 = 80 mm

Teğetsel kuvvet

F_t = 2T/d = 2·7,295/0,08 = 182,4 N

Cevap

F_t = 182,4 N

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_out = 41,18 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Çıkış hızı

n_out = 960·(16/40)·(30/48) = 240 rpm

ω_out = 2π·240/60 = 25,13 rad/s

Çıkış gücü ve tork

P_out = 1100·0,97² = 1035 W

T_out = P_out/ω_out = 1035/25,13 = 41,18 N·m

Cevap

T_out = 41,18 N·m

3.Millerin burulması

Cevap: d = 40,67 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·500/(80000·0,03491) = 268574 mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 40,67 mm

Cevap

d = 40,67 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 33,77 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m

Polar atalet momenti

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3,77 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 3,183 × 10⁶·40/3,77 × 10⁶ = 33,77 MPa

Cevap

τ_max = 33,77 MPa

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = −67,5 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·−40, −60 − 20) = −135°

Elemandaki açı

θ_p = −67,5°

Cevap

θ_p = −67,5°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = −60 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = −50 + 30·0 + −10·1 = −60 MPa

Cevap

σ_θ = −60 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,1969 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·2199 = 3,047 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 200000·300/3,047 × 10⁸ = 0,1969 mm

Cevap

δ = 0,1969 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 4,353 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 124,7 MPa

σ₂ = 382 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 124,7·500/117000 = 0,533 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 382·1000/100000 = 3,82 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,353 mm

Cevap

δ = 4,353 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 16,65 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/4000² = 16655 N = 16,65 kN

Cevap

P_cr = 16,65 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 11,05 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Cevap

σ_cr = 11,05 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,07885

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/5)·ln(12/1) = 0,497

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,497/√(39,48 + 0,247) = 0,07885

Cevap

ζ = 0,07885

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 10,21 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 25 + 10 = 35 kN/m

k_eq = 35·50/(35 + 50) = 20,59 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(20588/5) = 64,17 rad/s

f_n = 64,17/(2π) = 10,21 Hz

Cevap

f_n = 10,21 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design