Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1450 rpm ile çalışan 11 kW’lık bir motor 36 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 80 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %97. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 11 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 36N₂ = 80η = 97%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 3000 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (15 diş) B dişlisini (72 diş) döndürüyor. C dişlisi (20 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (24 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 3000 rpmA = 15B = 72C = 20D = 24

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

1,2 m uzunluğundaki dolu bir pirinç mil 400 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 0,5°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 400 N·mL = 1,2 mG = 39 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir pirinç mil 1450 rpm’de 15 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 50 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,25° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −70 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = −70 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

25 mm çaplı dolu bir mil, 500 N·m tork ile birlikte 100 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 25 mmM = 100 N·mT = 500 N·m

σ₁ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 50 mm, E = 110 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 400 mm’dir ve rijit levhalar arasında 80 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 80 kNçubuk: Ø20 mm, E = 200 GPaboru: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 20 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) ile bakır malzemeden yapılmış bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 200 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 30 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 15 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 15 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Sönümlü bir kütle–yay sisteminin serbest titreşim deneyinde 50 mm’lik bir yer değiştirme tepesini 5 çevrim sonra 26,7 mm’lik bir tepe izliyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

x₀ = 50 mmx₅ = 26,7 mmn = 5

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

100 kg’lık bir kütle uç uca (seri) bağlı iki yaya asılı: üstteki yayın rijitliği k₁ = 100 kN/m, alttakinin k₂ = 10 kN/m. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 100 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 72,44 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/151,8 = 72,44 N·m

Cevap

T₁ = 72,44 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 520,8 rpm

Birinci kademe

n_B = 3000·15/72 = 625 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 625·20/24 = 520,8 rpm

Cevap

n_out = 520,8 rpm

toplam oran = 5,76 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: d = 61,56 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·1200/(39000·0,008727) = 1,41 × 10⁶ mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 61,56 mm

Cevap

d = 61,56 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 49,31 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Dayanım için çap

T = 98,79 N·m = 98786 N·mm

d_τ = ∛(16·98786/(π·50)) = 21,59 mm

Rijitlik için çap

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·98786/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 49,31 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(21,59, 49,31) = 49,31 mm

Cevap

d = 49,31 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 61,85 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((−70 − −40)/2)² + −60²) = 61,85 MPa

Cevap

τ_max = 61,85 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 198,8 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·25³) = 65,19 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 32,59 MPa

R = √(32,59² + 163²) = 166,2 MPa

σ₁ = C + R = 198,8 MPa

σ₂ = C − R = −133,6 MPa

Cevap

σ₁ = 198,8 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,02933 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·9346 = 1,091 × 10⁹ N

Kısalma

δ = 80000·400/1,091 × 10⁹ = 0,02933 mm

Cevap

δ = 0,02933 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 30,97 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 120000·706,9/200 = 424115 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 30000·424115/581195 = 21892 N

Gerilme

σ₂ = 21892/706,9 = 30,97 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 30,97 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 42,97 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/1750² = 42970 N = 42,97 kN

Cevap

P_cr = 42,97 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 30,67 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·15000 = 30000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 30,67 mm

Cevap

d = 30,67 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 130,4, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,01997

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmik azalma

δ = (1/5)·ln(50/26,7) = 0,1255

Sönüm oranı

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1255/√(39,48 + 0,01574) = 0,01997

Cevap

ζ = 0,01997

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 9,091 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Seri yaylar aynı kuvveti taşır ve uzamaları toplanır, bu yüzden tersleriyle birleşir: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/10 → k_eq = 100·10/(100 + 10) = 9,091 kN/m

Cevap

k_eq = 9,091 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design