Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1450 rpm ile çalışan 0,75 kW’lık bir motor 45 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 72 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %97. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 0,75 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 45N₂ = 72η = 97%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bir planet dişli takımında güneş dişlisinin 30 dişi ve her planet dişlisinin 15 dişi var. Planet taşıyıcısı sabit tutuluyor ve güneş dişlisi 1800 rpm ile döndürülüyor. Çember dişlinin hızı n_r değerini (büyüklük) bulun.

N_s = 30N_p = 15n_s = 1800 rpm

n_r = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir pirinç mil (dış çap 75 mm, iç çap 45 mm, uzunluk 0,8 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 2000 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 2000 N·md_o = 75 mmd_i = 45 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

40 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 3 m ve B’den 2,5 m uzaklıktaki C’de 1500 N·m tork uygulanıyor. C kesitinin dönme açısı φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 40 mmT₀ = 1500 N·ma = 3 mb = 2,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 50 MPa, σᵧ = 110 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 50 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 160 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 15° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 160 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 60 mm, E = 120 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 800 mm’dir ve rijit levhalar arasında 50 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 50 kNçubuk: Ø20 mm, E = 200 GPaboru: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 25 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 160 MPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 50 mm, E = 120 GPa, izin verilen gerilme 70 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaboru: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 70 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 70 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

80 kg’lık bir kütle, rijitliği 100 kN/m olan bir yay ve sönüm katsayısı 280 N·s/m olan viskoz bir sönümleyiciyle taşınıyor. Sönüm oranı ζ değerini bulun.

m = 80 kgk = 100 kN/mc = 280 N·s/m

ζ =

12.Mekanik titreşimlerZor

25 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 40 kN/m ve k₂ = 50 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 4,939 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/151,8 = 4,939 N·m

Cevap

T₁ = 4,939 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_r = 900 rpm

Planet dişli takımları: güneş, çember ve taşıyıcının hızları Willis denklemiyle bağlıdır: (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s; taşıyıcıdan bakıldığında takım, planetlerin ara dişli olduğu sıradan bir dişli dizisidir. Bir elemanı sabit tutmak takımı tek oranlı bir redüktöre dönüştürür.

Çember dişli diş sayısı

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·15 = 60

Taşıyıcı sabitken Willis denklemi

n_c = 0 iken güneş dişlisi, ara dişli gibi davranan planetler aracılığıyla çemberi tahrik eder.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1800·30/60 = −900 rpm

|n_r| = 900 rpm

Cevap

n_r = 900 rpm

Çember güneşe ters yönde döner.

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,8694 °

Polar atalet momenti

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Burulma açısı

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·800/(39000·2,704 × 10⁶) = 0,01517 rad

φ = 0,01517·180/π = 0,8694°

Cevap

φ = 0,8694°

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 5,829 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca T_A + T_B = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·2,5/5,5 = 681,8 N·m

T_B = 1500·3/5,5 = 818,2 N·m

C’nin dönmesi

AC parçasını kullanın: A’da ankastredir ve T_A taşır.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 681818·3000/(80000·251327) = 0,1017 rad = 5,829°

Cevap

φ_C = 5,829°

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 63,43 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·40, 50 − 110) = 126,9°

Elemandaki açı

θ_p = 63,43°

Cevap

θ_p = 63,43°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 138,9 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 40 + 120·0,866 + −10·0,5 = 138,9 MPa

Cevap

σ_θ = 138,9 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,06006 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·5027 = 6,66 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 50000·800/6,66 × 10⁸ = 0,06006 mm

Cevap

δ = 0,06006 mm

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 469,6 kN

Alanlar

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·5890 = 8,05 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,0008, 0,0005833) = 0,0005833 (bakır)

En büyük yük

P_max = 0,0005833·8,05 × 10⁸ = 469603 N = 469,6 kN

Cevap

P_max = 469,6 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 2,412 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/6000² = 2412 N = 2,412 kN

Cevap

P_cr = 2,412 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 53,29 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·70000 = 175000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·175000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 53,29 mm

Cevap

d = 53,29 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 93,83, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: ζ = 0,0495

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritik sönüm

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·80) = 5657 N·s/m

Sönüm oranı

ζ = c/c_c = 280/5657 = 0,0495

Cevap

ζ = 0,0495

ζ < 1, bu yüzden sistem az sönümlüdür ve sönerken salınır.

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 9,549 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 50 = 90 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(90000/25) = 60 rad/s

f_n = 60/(2π) = 9,549 Hz

Cevap

f_n = 9,549 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design