Dişliler ve dişli dizileri
- Birbirini kavrayan dişliler
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Güç
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Bileşik dişli dizisi
- toplam oran = kademe oranlarının çarpımı
Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Millerin burulması
- Kayma gerilmesi
- τ = T·r/J
- Dolu mil
- J = πd⁴/32
- İçi boş mil
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Burulma açısı
- φ = TL/(GJ)
- Güç
- P = T·ω = 2πnT/60
Yöntem
- Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
- Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
- Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
- Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.
Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
- Merkez
- C = (σx + σy)/2
- Yarıçap
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Asal gerilmeler
- σ1,2 = C ± R
- Asal doğrultu
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Eğik düzlem
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Yöntem
- Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
- Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
- Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
- Normal gerilme
- σ = F/A
- Birim şekil değiştirme
- ε = ΔL/L
- Hooke yasası
- σ = E·ε
- Uzama
- ΔL = FL/(EA)
- Isıl birim şekil değiştirme
- εT = α·ΔT
Kolon burkulması
- Euler yükü
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Burkulma boyu katsayısı
- K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
- Kritik gerilme
- σcr = Pcr/A
- Narinlik
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mekanik titreşimler
- Doğal frekans
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Statik çökmeden
- ωn = √(g/δst)
- Kritik sönüm
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Sönüm oranı
- ζ = c/cc
- Sönümlü frekans
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmik azalma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Paralel yaylar
- k = k1 + k2
- Seri yaylar
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Alıştırma soruları
1.Dişliler ve dişli dizileriOrta
1450 rpm ile çalışan 1,1 kW’lık bir motor, 25 dişli ve 3 mm modüllü bir pinyonu tahrik ediyor. Pinyon dişlerine etkiyen teğetsel kuvvet Ft değerini bulun.
P = 1,1 kWn = 1450 rpmN1 = 25m = 3 mm
Ft = N
2.Dişliler ve dişli dizileriZor
Bileşik bir dişli dizisinde, 2900 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (40 diş) B dişlisini (48 diş) döndürüyor. C dişlisi (15 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (72 diş) döndürüyor. Çıkış hızı nout değerini bulun.
nin = 2900 rpmA = 40B = 48C = 15D = 72
nout = rpm
3.Millerin burulmasıOrta
Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.
T = 500 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
60 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 1,2 m ve B’den 3 m uzaklıktaki C’de 750 N·m tork uygulanıyor. C kesitinin dönme açısı φC değerini derece cinsinden bulun.
d = 60 mmT0 = 750 N·ma = 1,2 mb = 3 mG = 80 GPa
φC = °
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θp değerini −90° ile 90° arasında bulun.
σx = 60 MPaσy = 120 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 40 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 60° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.
σx = 40 MPaσy = 80 MPaτxy = 30 MPaθ = 60°
σθ = MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.
P = 55 kNd = 20 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.
P = 15 kNparça 1: Ø30 mm, 2 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1 m, pirinç (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Kolon burkulmasıOrta
alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.
L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 120 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.
P = 120 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm
11.Mekanik titreşimlerOrta
Rijitliği 20 kN/m olan bir yay üzerindeki 10 kg’lık bir kütlenin, 0,7 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı fd değerini Hz cinsinden bulun.
m = 10 kgk = 20 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.Mekanik titreşimlerZor
20 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 10 kN/m ve k₂ = 50 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Sönümü ve yayların kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı fn değerini Hz cinsinden bulun.
m = 20 kgk1 = 10 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3Çözeltiler
1.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: Ft = 193,2 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Pinyondaki tork
ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 1100/151,8 = 7,244 N·m
Bölüm dairesi çapı
d = m·N = 3·25 = 75 mm
Teğetsel kuvvet
Ft = 2T/d = 2·7,244/0,075 = 193,2 N
Cevap
Ft = 193,2 N
2.Dişliler ve dişli dizileri
Cevap: nout = 503,5 rpm
Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.
Birinci kademe
nB = 2900·40/48 = 2417 rpm = nC
İkinci kademe
nout = 2417·15/72 = 503,5 rpm
Cevap
nout = 503,5 rpm
toplam oran = 5,76 : 1
3.Millerin burulması
Cevap: φ = 6,755 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.
Polar atalet momenti
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Burulma açısı
φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(80000·79522) = 0,1179 rad
φ = 0,1179·180/π = 6,755°
Cevap
φ = 6,755°
4.Millerin burulması
Cevap: φC = 0,3619 °
Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).
Denge ve uygunluk
TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·3/4,2 = 535,7 N·m
TB = 750·1,2/4,2 = 214,3 N·m
C’nin dönmesi
AC parçasını kullanın: A’da ankastredir ve TA taşır.
J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 535714·1200/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,006316 rad = 0,3619°
Cevap
φC = 0,3619°
5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: θp = −58,28 °
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dairedeki açı
Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.
2θp = atan2(2·−60, 60 − 120) = −116,6°
Elemandaki açı
θp = −58,28°
Cevap
θp = −58,28°
Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.
6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü
Cevap: σθ = 95,98 MPa
Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.
Dönüşüm denklemi
σθ = 60 + −20·−0,5 + 30·0,866 = 95,98 MPa
Cevap
σθ = 95,98 MPa
7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: δ = 2,993 mm
Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.
Gerilme
A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 55·1000/314,2 = 175,1 MPa
Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)
E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 175,1/117000 = 0,001496 = 1496 µε
Uzama
δ = ε·L = 0,001496·2000 mm = 2,993 mm
Cevap
δ = 2,993 mm
8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme
Cevap: σmax = 74,6 MPa
Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.
İki parçada aynı kuvvet
Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 21,22 MPa
σ2 = 74,6 MPa
En büyük gerilme
İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.
σmax = 74,6 MPa
Cevap
σmax = 74,6 MPa
9.Kolon burkulması
Cevap: Pcr = 20,89 kN
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
En küçük atalet momenti
Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.
Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴
Burkulma boyu
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
Kritik yük
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1050² = 20888 N = 20,89 kN
Cevap
Pcr = 20,89 kN
10.Kolon burkulması
Cevap: d = 63,62 mm
Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.
Gereken kritik yük
Pcr = n·P = 3·120000 = 360000 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
Çap için çözün
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 63,62 mm
Cevap
d = 63,62 mm
Kontrol: narinlik KL/r = 132, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.
11.Mekanik titreşimler
Cevap: fd = 5,083 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Sönümsüz doğal frekans
ωn = √(20000/10) = 44,72 rad/s
fn = 44,72/(2π) = 7,118 Hz
Sönümlü doğal frekans
fd = fn·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,7²) = 5,083 Hz
Cevap
fd = 5,083 Hz
12.Mekanik titreşimler
Cevap: fn = 8,717 Hz
Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ωn = √(k/m) ve Hz cinsinden fn = ωn/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/cc sönüm oranını verir; kritik sönüm cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eşdeğer rijitlik
Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k1 + k2.
keq = 10 + 50 = 60 kN/m
Doğal frekans
ωn = √(60000/20) = 54,77 rad/s
fn = 54,77/(2π) = 8,717 Hz
Cevap
fn = 8,717 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design