Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

960 rpm’deki 0,55 kW’lık bir motor 2 ağızlı bir sonsuz vidayı tahrik ediyor. Sonsuz vida çarkının 30 dişi var ve aktarmanın verimi %50’tür. Çark milindeki çıkış torku T_w değerini bulun.

z = 2N_w = 30n = 960 rpmP = 0,55 kWη = 50%

T_w = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Açık bir kayış, merkezleri 800 mm arayla duran 120 mm’lik ve 400 mm’lik kasnakları bağlıyor. Küçük kasnaktaki sarılma açısını θ derece cinsinden bulun.

d₁ = 120 mmd₂ = 400 mmC = 800 mm

θ = °

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

50 mm çaplı dolu bir alüminyum mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 0,8 m ve B’den 1,2 m uzaklıktaki C’de 2000 N·m tork uygulanıyor. A duvarındaki tepki torku T_A değerini bulun.

d = 50 mmT₀ = 2000 N·ma = 0,8 mb = 1,2 m

T_A = N·m

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = −40 MPa ve σᵧ = 80 MPa’dır. En büyük asal gerilme 100 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = −40 MPaσ_y = 80 MPaσ₁ = 100 MPa

τ_xy = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 1200 mm ve et kalınlığı 8 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 3 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 40° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σ_n değerini bulun.

D = 1200 mmt = 8 mmp = 3 MPaα = 40°

σ_n = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 20 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) pirinç malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 60 mm, uzunluk 300 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,5 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 20 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) ile bronz malzemeden yapılmış bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 200 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 50 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 2 kN/m olan bir yay üzerindeki 15 kg’lık bir kütlenin, 0,3 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 15 kgk = 2 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

25 kg’lık bir kütle, rijitlikleri k₁ = 20 kN/m ve k₂ = 80 kN/m olan yan yana (paralel) iki yaya asılı. Kütle yatay kalıyor. Yay sisteminin eşdeğer rijitliği k_eq değerini kN/m cinsinden bulun.

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_w = 41,03 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Çark hızı

n_w = n·z/N_w = 960·2/30 = 64 rpm

Çıkış torku

ω_w = 2π·64/60 = 6,702 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,5·550/6,702 = 41,03 N·m

Cevap

T_w = 41,03 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: θ = 159,8 °

Kayış-kasnak sürücüleri: kayma olmadığında iki kasnağın çevre hızı aynıdır, v = π·d·n/60; dolayısıyla n₁·d₁ = n₂·d₂ ve hız oranı d₂/d₁’dir. s kayması, tahrik edilen kasnağı biraz yavaşlatır: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). İletilen güç P = (T₁ − T₂)·v’dir; T₁ gergin taraftaki, T₂ gevşek taraftaki çekme kuvvetidir. Sürtünme gerilmelerin oranını sınırlar: T₁/T₂ = e^μθ; burada θ, küçük kasnaktaki sarılma açısıdır (radyan cinsinden); açık bir kayış için θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), C eksenler arası uzaklıktır.

Kayış açısı

asin(0,175) = 10,08°

Sarılma açısı

θ = 180 − 2·10,08 = 159,8°

Cevap

θ = 159,8°

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 1,401 °

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(80000·613592) = 0,02445 rad

φ = 0,02445·180/π = 1,401°

Cevap

φ = 1,401°

4.Millerin burulması

Cevap: T_A = 1200 N·m

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca T_A + T_B = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·1,2/2 = 1200 N·m

T_B = 2000·0,8/2 = 800 N·m

Cevap

T_A = 1200 N·m

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 52,92 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Gerekli yarıçap

C = (−40 + 80)/2 = 20 MPa

R = σ₁ − C = 100 − 20 = 80 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 60²) = 52,92 MPa

Cevap

τ_xy = 52,92 MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_n = 178,5 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 3·600/8 = 225 MPa

σ_a = pr/(2t) = 112,5 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

σ_n = 112,5·sin²40° + 225·cos²40° = 178,5 MPa

Cevap

σ_n = 178,5 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 55,44 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·2827) = 1,061 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,5/9,019 × 10⁻⁶ = 55440 N = 55,44 kN

Cevap

P = 55,44 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 34,55 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 110000·1257/200 = 691150 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 50000·691150/795870 = 43421 N

Gerilme

σ₂ = 43421/1257 = 34,55 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 34,55 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 26,32 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/2000² = 26319 N = 26,32 kN

Cevap

P_cr = 26,32 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 69,09 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/12,5 = 100

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Cevap

σ_cr = 69,09 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 1,753 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(2000/15) = 11,55 rad/s

f_n = 11,55/(2π) = 1,838 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,838·√(1 − 0,3²) = 1,753 Hz

Cevap

f_d = 1,753 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: k_eq = 100 kN/m

Eşdeğer rijitlik

Yan yana yaylar aynı uzamayı paylaşır ve kuvvetleri toplanır, bu yüzden rijitlikleri doğrudan toplanır: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 80 = 100 kN/m

Cevap

k_eq = 100 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design