Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1450 rpm’deki 3 kW’lık bir motor 2 ağızlı bir sonsuz vidayı tahrik ediyor. Sonsuz vida çarkının 30 dişi var ve aktarmanın verimi %80’tür. Çark milindeki çıkış torku T_w değerini bulun.

z = 2N_w = 30n = 1450 rpmP = 3 kWη = 80%

T_w = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 3000 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (18 diş) B dişlisini (30 diş) döndürüyor. C dişlisi (15 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (36 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 3000 rpmA = 18B = 30C = 15D = 36

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir mil 500 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,5 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 40 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

T = 500 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Millerin burulmasıZor

50 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 3 m ve B’den 0,8 m uzaklıktaki C’de 500 N·m tork uygulanıyor. C kesitinin dönme açısı φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 50 mmT₀ = 500 N·ma = 3 mb = 0,8 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 40 MPa, σᵧ = −70 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 40 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

20 mm çaplı dolu bir mil, 250 N·m tork ile birlikte 10 kN eksenel basınç kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 20 mmF = −10 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 20 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 40 mm, uzunluk 400 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,4 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 150 MPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 50 mm, E = 110 GPa, izin verilen gerilme 70 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaboru: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 120 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 120 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 5 kN/m olan bir yay üzerindeki 15 kg’lık bir kütlenin, 0,3 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 15 kgk = 5 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

40 kg’lık bir kütle k₃ = 20 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 20 kN/m ve k₂ = 30 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 40 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T_w = 237,1 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Çark hızı

n_w = n·z/N_w = 1450·2/30 = 96,67 rpm

Çıkış torku

ω_w = 2π·96,67/60 = 10,12 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,8·3000/10,12 = 237,1 N·m

Cevap

T_w = 237,1 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 750 rpm

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Birinci kademe

n_B = 3000·18/30 = 1800 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 1800·15/36 = 750 rpm

Cevap

n_out = 750 rpm

toplam oran = 4 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: d_o = 40,8 mm

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 500 N·m = 500000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·40·0,9375)) = 40,8 mm

d_i = 0,5·40,8 = 20,4 mm

Cevap

d_o = 40,8 mm

Dolu bir mil d = 39,93 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 0,3686 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca T_A + T_B = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·0,8/3,8 = 105,3 N·m

T_B = 500·3/3,8 = 394,7 N·m

C’nin dönmesi

AC parçasını kullanın: A’da ankastredir ve T_A taşır.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 105263·3000/(80000·613592) = 0,006433 rad = 0,3686°

Cevap

φ_C = 0,3686°

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −54,99 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = −20/58,52 = −0,3417, sin 2θ_s = −55/58,52 = −0,9398

2θ_s = atan2(−55, −20) = −110°

Elemandaki açı

θ_s = −54,99°

kontrol: θ_s − θ_p = −54,99 − (−9,992) = −45°

Cevap

θ_s = −54,99°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 144 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = −10000/(π·20²/4) = −10000/314,2 = −31,83 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = −15,92 MPa

R = √((−15,92)² + 159,2²) = 159,9 MPa

σ₁ = C + R = 144 MPa

σ₂ = C − R = −175,9 MPa

Cevap

σ₁ = 144 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 28,38 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1257) = 4,547 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,4/1,41 × 10⁻⁵ = 28376 N = 28,38 kN

Cevap

P = 28,38 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 374,3 kN

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·3063 = 5,883 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,00075, 0,0006364) = 0,0006364 (bronz)

En büyük yük

P_max = 0,0006364·5,883 × 10⁸ = 374349 N = 374,3 kN

Cevap

P_max = 374,3 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 99,66 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2100² = 99663 N = 99,66 kN

Cevap

P_cr = 99,66 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 89,98 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·120000 = 360000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 89,98 mm

Cevap

d = 89,98 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 186,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 2,772 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(5000/15) = 18,26 rad/s

f_n = 18,26/(2π) = 2,906 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,906·√(1 − 0,3²) = 2,772 Hz

Cevap

f_d = 2,772 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 3,008 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 20 + 30 = 50 kN/m

k_eq = 50·20/(50 + 20) = 14,29 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(14286/40) = 18,9 rad/s

f_n = 18,9/(2π) = 3,008 Hz

Cevap

f_n = 3,008 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design