Makine Tasarımı: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Dişliler ve dişli dizileri

Birbirini kavrayan dişliler: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Güç: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Bileşik dişli dizisi: toplam oran = kademe oranlarının çarpımı

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mekanik titreşimler

Doğal frekans: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Statik çökmeden: ω_n = √(g/δ_st)
Kritik sönüm: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Sönüm oranı: ζ = c/c_c
Sönümlü frekans: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmik azalma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Paralel yaylar: k = k₁ + k₂
Seri yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Alıştırma soruları

1.Dişliler ve dişli dizileriOrta

1440 rpm ile çalışan 15 kW’lık bir motor 25 dişli bir pinyonu döndürüyor; pinyon 32 dişli bir dişliyi kavrıyor. Dişli çiftinin verimi %97. Motor milindeki tork T₁ değerini bulun.

P = 15 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 25N₂ = 32η = 97%

T₁ = N·m

2.Dişliler ve dişli dizileriZor

Bileşik bir dişli dizisinde, 1500 rpm ile dönen giriş milindeki A dişlisi (45 diş) B dişlisini (60 diş) döndürüyor. C dişlisi (18 diş) B ile aynı mile sabitlenmiştir ve çıkış milindeki D dişlisini (24 diş) döndürüyor. Çıkış hızı n_out değerini bulun.

n_in = 1500 rpmA = 45B = 60C = 18D = 24

n_out = rpm

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 20 mm çaplı dolu bir numune 75 N·m torkla burulmuştur. 250 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 0,85° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 75 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 0,85°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir pirinç mil 750 rpm’de 75 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 50 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 1° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 75 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 30 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa, σ_z = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τ_abs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σ_x = 80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 120 MPa, σᵧ = 100 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 45° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 120 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 25 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) bronz malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 40 mm, uzunluk 200 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,4 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 85 kNparça 1: Ø35 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1,5 m, bakır (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mekanik titreşimlerOrta

Rijitliği 2 kN/m olan bir yay üzerindeki 8 kg’lık bir kütlenin, 0,5 sönüm oranı veren viskoz bir sönümleyicisi var. Serbest titreşiminin sönümlü doğal frekansı f_d değerini Hz cinsinden bulun.

m = 8 kgk = 2 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Mekanik titreşimlerZor

100 kg’lık bir kütle k₃ = 25 kN/m yayına asılı. k₃’ün üst ucu, yan yana iki yaya, k₁ = 80 kN/m ve k₂ = 10 kN/m, asılı rijit bir çubuğa bağlıdır; çubuk yatay kalıyor. Sönümü ve yaylarla çubuğun kütlelerini ihmal edin. Düşey titreşimin doğal frekansı f_n değerini Hz cinsinden bulun.

m = 100 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Çözeltiler

1.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: T₁ = 99,47 N·m

Dişli dizileri: birbirini kavrayan dişlilerin dişlerdeki hızı aynıdır, bu yüzden n₁·N₁ = n₂·N₂: dişi az olan dişli daha hızlı döner. Aynı mil üzerindeki dişliler aynı hızla döner. Güç (kayıplar düşülerek) aktarılır, bu yüzden hız düştüğünde tork artar: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η ve P = T·ω, burada ω = 2π·n/60.

Motor torku

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/150,8 = 99,47 N·m

Cevap

T₁ = 99,47 N·m

2.Dişliler ve dişli dizileri

Cevap: n_out = 843,8 rpm

Birinci kademe

n_B = 1500·45/60 = 1125 rpm = n_C

İkinci kademe

n_out = 1125·18/24 = 843,8 rpm

Cevap

n_out = 843,8 rpm

toplam oran = 1,778 : 1

3.Millerin burulması

Cevap: G = 80,46 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,85·π/180 = 0,01484 rad

Kayma modülü

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·250/(15708·0,01484) = 80461 MPa

G = 80,46 GPa

Cevap

G = 80,46 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 61,48 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Dayanım için çap

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·50)) = 45,99 mm

Rijitlik için çap

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 61,48 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(45,99, 61,48) = 61,48 mm

Cevap

d = 61,48 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_abs = 40,96 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σ_max − σ_min)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

Düzlem içi asal gerilmeler

C = 55 MPa, R = √(25² + (−10)²) = 26,93 MPa

σ₁ = 81,93 MPa, σ₂ = 28,07 MPa, σ_z = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(53,85, 81,93, 28,07)/2 = 40,96 MPa

Cevap

τ_abs = 40,96 MPa

Burada düzlem dışı daire belirleyicidir: mutlak en büyük değer, düzlem içi en büyük değer R’den büyüktür.

6.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 50 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 110 + 10·0 + 60·−1 = 50 MPa

Cevap

σ_θ = 50 MPa

7.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 72,45 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1257) = 1,447 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,4/5,521 × 10⁻⁶ = 72448 N = 72,45 kN

Cevap

P = 72,45 kN

8.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 751,6 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 88,35 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 751,6 MPa

Cevap

σ_max = 751,6 MPa

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 63,97 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/3000² = 63970 N = 63,97 kN

Cevap

P_cr = 63,97 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 1,919 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1,919 MPa

Cevap

σ_cr = 1,919 MPa

11.Mekanik titreşimler

Cevap: f_d = 2,179 Hz

Kütle–yay sisteminin serbest titreşimi: sönümsüz doğal frekans rad/s cinsinden ω_n = √(k/m) ve Hz cinsinden f_n = ω_n/(2π)’dir. Viskoz bir sönümleyici c, ζ = c/c_c sönüm oranını verir; kritik sönüm c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n’dir. Az sönümlü bir sistem (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) ile salınır. Paralel yaylar toplanır, k = k₁ + k₂; seri yaylar tersleriyle toplanır, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Sönümsüz doğal frekans

ω_n = √(2000/8) = 15,81 rad/s

f_n = 15,81/(2π) = 2,516 Hz

Sönümlü doğal frekans

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,516·√(1 − 0,5²) = 2,179 Hz

Cevap

f_d = 2,179 Hz

12.Mekanik titreşimler

Cevap: f_n = 2,226 Hz

Eşdeğer rijitlik

Yalnızca k₁ ve k₂ paraleldir. Bu çift k₃ ile seridir, bu yüzden onları tersleriyle birleştirin.

k₁₂ = 80 + 10 = 90 kN/m

k_eq = 90·25/(90 + 25) = 19,57 kN/m

Doğal frekans

ω_n = √(19565/100) = 13,99 rad/s

f_n = 13,99/(2π) = 2,226 Hz

Cevap

f_n = 2,226 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design